Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
для решения проблемы Ферма о натуральных числах Эйлером были привлечены числа другой природы: комплексные числа вида a + wb, где a, b Z, w = . Здесь w - корень уравнения x3 = 1, и можно доказать, что каждое число a = a + wb удовлетворяет некоторому кубическому уравнению с целыми коэффициентами: (a - a)3 = (wb)3 = b3, т.е. a3 - 3a2a + 3aa2 - a3 - b3 = 0.
Любое комплексное число a С , удовлетворяющее уравнению с целыми коэффициентами, называется алгебраическим. Таким образом, Эйлером был заложен фундамент теории алгебраических чисел, бурное развитие которой продолжается до сих пор.
3. Метод Куммера. По лемме об уравнении xn + yn = zn , Великую теорему Ферма осталось доказать для любого нечётного простого числа p. Идея Эйлера позволила (усилиями А. Лежандра и Г. Ламе) доказать Великую теорему Ферма для n = 5, 7, 11 и 13, но общего доказательства на этом пути получить не удалось. Только Э. Куммер в середине XIX в. сумел обобщить эту идею и получить метод дающий доказательство для всех, так называемых, регулярных простых показателей (см. [1]) (в частности, для всех показателей, меньших 100).
Куммер исходил из аналогичного рассмотренному выше в доказательстве Эйлера разложения
xp + yp = (x + y)(x + wy) … (x + w p-1y),
где w p = 1 , w = . Таким образом, можно рассмотреть числовое кольцо
Kp = { C | ak Z (0 k p - 1)}.
Если бы удалось доказать, что это кольцо с однозначным разложением в произведение простых элементов, то Великая теорема Ферма была бы доказана.
Проблема состоит в том, что однозначность разложений в произведение простых элементов в кольце Kp выполняется не всегда. Чтобы преодолеть эту преграду Куммер применил метод расширения множества Kp до полугруппы Д идеальных объектов, называемых ныне дивизорами, в которых разложение на множители однозначно. В доказательстве Эйлера, ввиду основной теоремы арифметики, справедливой в кольце K, достаточно было взять Д = K \ {0}, но в общем случае всё не так просто.
Такая конструкция расширения Kp Д была обоснована им для регулярных простых чисел p, одна из возможных характеризаций которых такова: нечётное простое число p регулярно тогда и только тогда, когда для любого чётного k = 2, 4, … , p - 3 число 1k + 2k + … + (p - 1)k не делится на p2.
Примеры: 1. p = 3 регулярно, т.к. нет чисел k.
2. p = 5 регулярно, т.к. для k = 2 имеем 12 + 22 + 32 + 42 = 30 52.
3. Среди простых чисел первой сотни не регулярны только 37, 59, 67. Для них Куммер доказал Великую теорему Ферма отдельно.
Хотя метод Куммера позволяет доказать Великую теорему Ферма для широкого класса показателей, но до сих пор не известно, является ли множество регулярных простых чисел бесконечным. С появлением ЭВМ проверка регулярности стала возможной для очень больших чисел n 2125000, так что горизонт показателей, для которых Великая теорема Ферма доказана методом Куммера, существенно расширился, но не стал беспредельным.
ГЛАВА II. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И abc-ГИПОТЕЗА
1. Гипотеза Таниямы и доказательство Вайлса Великой теоремы Ферма
Удивительно, но, как это часто бывает в математике, решение проблемы Ферма пришло совсем с другой стороны, нежели ожидалось. Как уже отмечалось, Э. Вайлс и Р. Тейлор доказали гипотезу Таниямы, относящуюся к теории эллиптических кривых, но из неё К. Рибет, основываясь на гениальной догадке Г. Фрея, вывел Великую теорему Ферма.
К сожалению, объём работы не позволяет подробно остановиться на исследованиях Вайлса-Тейлора. Поэтому лишь наметим путь, ведущий к доказательству Проблемы Ферма.
1. Эллиптические кривые. Эллиптической кривой называется кривая на плоскости, заданная уравнением
y2 = x3 + ax2 + bx + c, где a, b, c Q .
По аналогии с дискриминантом
общего кубического уравнения x3 + ax2 + bx + c = 0 вводится дискриминант D эллиптической кривой y2 = x3 + ax2 + bx + c (a, b, c Q), равный по определению D = -16(4a3c - a2b2 - 18abc + 27c2 + 4b3). Отличие в числовом множителе от дискриминанта D здесь не принципиально, но удобно тем, что при целых a и b дискриминант тоже будет целым числом.
На рис. 2, 3 приведены некоторые графики эллиптических кривых: неособые с ненулевым дискриминантом, и особые - с нулевым.
Эллиптическая кривая y2 = x3 + ax2 + bx + c (a, b, c Z) называется полустабильной, если сравнение x3 + ax2 + bx + c 0 (mod p) не имеет трёхкратных корней для любого простого p | (4a