Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
? h = 1 + e, получим лишь конечное число k = k(e) abc-троек (ai ; bi ; ci ) (1 i k), удовлетворяющих неравенствам сi r(ai , bi , ci)h = r(ai , bi , ci)1 + e. Взяв , получим сi < K(e)r(ai , bi , ci)1 + e. Для остальных хитовых abc-троек выполнены неравенства c r(a, b, c)1 + e < K(e)r(a, b, c)1 + e. Таким образом, из утверждения (3) следует abc-гипотеза.
Теорема доказана.
Вера в правдоподобность abc-гипотезы укрепляется её справедливостью для многочленов и компьютерными расчётами. В Интернете существует проект по проверке этой гипотезы (а также и некоторых других) путём вычислений, распределённых по компьютерам многочисленных пользователей. Справедливость abc-гипотезы уже проверена для всех натуральных чисел с несколькими десятками цифр. При этом не только не найдено контрпримера, но и не превзойдёна максимальная мера хитовости r = 1,62991… . Поэтому не менее чем abc-гипотеза правдоподобно следующее предположение: для любой abc-тройки верно с < r(a, b, c)2, в котором максимальная мера хитовости даже огрублена до двух. Это предположение будем в дальнейшем называть (abc)2 -гипотезой.
4. Некоторые следствия abc- и (abc)2- гипотез
. Великая теорема Ферма. Диофантово уравнение xn + yn = zn не имеет натуральных решений x, y, z N при n > 2.
Доказательство. От противного: пусть xn + yn = zn для некоторых натуральных чисел x, y, z и n > 2. По лемме об уравнении xn + yn = zn можно считать, что НОД(x, y) = 1. Тогда, числа xn и yn тоже взаимно просты, и обозначив a = xn, b = yn , c = zn получим abc-тройку, для которой, согласно (abc)2-гипотезе, выполняется цепочка неравенств:
zn = c < r(abc)2 = r(xnynzn)2 = r(xyz)2 (xyz)2 < (z3)2 = z6 .
Значит, n < 6, что противоречит давно доказанным случаям Великой теоремы Ферма для n = 3, 4, 5.
Теорема доказана.
В этом доказательстве использована (abc)2-гипотеза. Если же пользоваться abc-гипотезой, то можно доказать справедливость Великой теоремы Ферма, начиная с некоторого показателя n. Действительно, согласно abc-гипотезе (см. теорему об её эквивалентных формулировках в прошлом параграфе) найдётся такое h > 1, что для любой abc-тройки верно неравенство c < r(a, b, c)h. Тогда, как и в приведённом выше доказательстве,
zn = c < r(abc)h = r(xnynzn)h = r(xyz)h (xyz)h < (z3)h = z3h .
Значит, равенство xn + yn = zn может иметь место только при n < 3h, что и утверждалось.
2. Уравнение Ферма-Каталана xk + ym = zn (2 k m n). Это уравнение обобщает диофантово уравнение Ферма xn + yn = zn на случай произвольных натуральных показателей.
При исследовании этого уравнения различают три случая:
а) , б) , в) .
Если в третьем случае неравенство выполнено для многих значений k, m, n, то первые два случая накладывают на эти значения серьёзные ограничения. Неравенство , очевидно, равносильно mn + kn + km kmn, левая часть которого не превосходит 3mn, что даёт ограничение k 3, т.е. k = 2 или k = 3. Если k = 2, то 2(m + n) mn (m - 2)(n - 2) 4, т.е. либо m = 2, n 2, либо m = 3, n 6. Если же k = 3, то 3(m + n) 2mn, и левая часть не больше 6n, а значит, m 3, т.е. m = 3 (m k = 3) и n = 3.
Итак, случаи а), б) имеют следующие описания:
а) (k; m; n) {(2; 2; n), (2; 3; 3), (2; 3; 4), (2; 3; 5)};
б) (k; m; n) {(3; 3; 3), (2; 4; 4), (2; 3; 6)}.
Оказывается, что в случае а) каждое диофантово уравнение xk + ym = zn имеет бесконечное число решений. Для того чтобы в этом убедиться, нужно для каждой из выписанных троек степеней построить бесконечную серию решений. Например, для уравнения x2 + y2 = z2s+1 с нечётным n = 2s + 1 можно взять x = a(a2 + b2)s, y = b(a2 + b2)s, z = a2 + b2 (a, b Z). Для чётного значения n = 2s решения можно строить последовательно: если для уравнения x2 + y2