Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
= zs уже построена бесконечная серия (xp ; yp ; zp)p N решений, то для уравнения x2 + y2 = z2s можно взять x = 2xpyp , y = xp2 - yp2, z = zp .
Для случая б) доказано, что каждое диофантово уравнение xk + ym = zn имеет лишь конечное число взаимно простых решений (НОД(x, y, z) = 1). Например, уравнение x3 + y3 = z3 - это уравнение Ферма и не имеет натуральных решений. Уравнение x2 + y4 = z4 аналогично уравнению x4 + y4 = z2 , рассматривашемуся при доказательстве теоремы Ферма для показателя 4.
В случае в) из abc-гипотезы можно вывести следующую теорему (Nitaj, Abderrahmane La conjecture abc. Enseign. Math., II. Ser. 42, No.1-2, 3-24 (1996).):
Теорема. Существует лишь конечное число наборов (xk ; ym ; zn) со свойствами:
x, y, z N; НОД(x, y, z) = 1; xk + ym = zn ; ; k, m, n 2 .
Доказательство. Любой набор (xk ; ym ; zn), очевидно, определяет abc-тройку с a = xk , b = ym , c = zn , причём
r(abc) = r(xkymzn) = r(x)r(y)r(z) xyz = (xk)1 / k(ym)1 / m(zn)1 / n =
= a1 / kb1 / mc1 / n < c1 / kc1 / mc1 / n = c1 / h,
где h = .
Поэтому c > r(abc)h, т.е. любой рассматриваемый набор определяет хитовую abc-тройку с мерой хитовости больше h. По abc-гипотезе таких троек лишь конечное число.
Теорема доказана.
В 1995 г. без использования abc-гипотезы была доказана следующая теорема Х. Дармона и А. Гранвилля (Darmon H., Granville A. On the equations zm = F(x,y) and Axp + Byq = Czr. Bull. Lond. Math. Soc. 27, No.6, 513-543 (1995)):
Теорема. Для любого набора (k ; m ; n), где ; k, m, n 2 диофантово уравнение xk + ym = zn имеет лишь конечное число решений.
Ясно, что утверждение, выведенное выше с использованием abc-гипотезы, значительно сильнее: оно утверждает глобальную конечность наборов, в отличие от конечности числа решений каждого уравнения.
В частности, доказана и гипотеза Каталана: диофантово уравнение Каталана 1 + ym = zn имеет лишь конечное число решений. Ранее эта гипотеза была доказана без использования abc-техники Преда Михайлеску (Preda Mihailescu Primary cyclotomic units and a proof of Catalans conjecture, J. Reine Angew. Math. 572 (2004), 167-195).
Следует отметить, что на сегодняшний день известны лишь следующие решения уравнения xk + ym = zn :
1k + 23 = 32, 132 + 73 = 29, 27 + 173 = 712, 25 +72 = 34, 35 +114 = 1222,
7 +762713 = 210639282, 14143 + 22134592 = 657, 338 + 15490342 = 156133
8 + 962223 = 300429072, 92623 + 153122832 = 1137.
. Гипотеза Морделла (1922 г.). Пусть задан многочлен f(x, y) степени n > 1 от двух переменных x, y с комплексными коэффициентами. Тогда алгебраическое уравнение f(x, y) = 0 задаёт алгебраическую кривую, которую можно превратить (путём некоторой компактификации) в риманово многообразие и рассмотреть род g этого многообразия. Долгое время оставалась недоказанной следующая гипотеза Морделла: если g 2, то на рассматриваемой кривой с уравнением f(x, y) = 0 лишь конечное число рациональных точек, т.е. точек с рациональными координатами (Mordell L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179-192 (1922)).
Особо важен случай гладкой кривой : кривая с уравнением f(x, y) = 0 называется гладкой, если система алгебраических уравнений
не имеет решений. Оказывается, что в этом случае род кривой вычисляется просто: g = . Таким образом, проверка конечности числа рациональных точек превращается с помощью гипотезы Морделла в чисто алгебраическое упражнение.
Примеры: 1. Для кривой с уравнением xn + yn = 1, которая тесно связана с уравнением Ферма xn + yn = zn, имеем f(x, y) = xn + yn - 1 и система
не имеет решений. Таким образом, кривая гладкая, её род g = > 2 при n > 2, так что на ней лежит лишь конечное число рациональных точек. Отсюда легко вывести, что уравнение Ферма имеет конечное число взаимно простых нетривиальных решений.
2. Кривая с уравнением x2 + y2 = 1 гладкая, но её род g = 1, так что на ней лежит бесконечно много рациональных точек
(t R).
. Кривая с уравнением x + y = 2 гладкая, но её род g = 0, на ней лежит бесконечно много рациональных точек
(t R).
. Кривая с уравнением x + y = 0 не гладкая (гладкости нет при x = 0 = y). На ней бесконечно много рациональных точек.
Гипотеза Морделла была доказана Г. Фалтингсом в 1984 г. ещё до появления abc-гипотезы (Faltings G. Die Vermutungen von Tate und Mordell // Jahresbe