Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?а Массером и Остерле в 1986 г. Её значение состоит в том, что в случае её справедливости получаются изящные и короткие доказательства известных трудных теорем теории чисел, в том числе и доказательство Великой теоремы Ферма. Массер и Остерле не сразу сформулировали эту гипотезу. Они работали над много более общей задачей, которая ни в коей мере не элементарна, abc-гипотеза возникла из глубокого изучения алгебраической геометрии и теории модулярных функций.
Примеры: r(24) = r(233) = 23 = 6, r(10) = r(25) = 25 = 10, r(2016) = = r(24101) = 2101 = 202.
Ясно, что для любого числа n N верны неравенства r(n) n, r(nm) = = r(n) n = (nm)1 / m .
Любую тройку натуральных чисел (a; b; c) со свойствами a + b = c, НОД(a, b) = 1 будем называть abc-тройкой. Нетрудно понять, что условие НОД(a, b) = 1 взаимной простоты чисел a, b равносильно условию взаимной простоты любой пары чисел из abc-тройки. Например, НОД(a, c) = 1 : если D = НОД(a, c), то D | a, D | c и из равенства a + b = c получаем, что D | b , т.к. b = c - a, т.е. D - общий делитель a и b, а значит, D = 1. Таким образом, в определении abc-тройки можно ограничиться условием взаимной простоты НОД(a, b, c) = 1 всех трёх чисел a, b, c в совокупности.
Примеры: 1. 1 + 1 = 2. Здесь c = 2 < 1r(abc)1+e = 121+e, K(e) = 1.
2. 1 + 2 = 3, c = 3 < 1r(abc)1+e = 161+e, K(e) = 1.
3. 1 + 3 = 4. Здесь c = 4 < 1r(abc)1+e = 161+e, K(e) = 1.
4. 1 + 8 = 9, c = 9 < r(abc)1+e = 61+e, K(e) = .
5. 3 + 125 = 128. Здесь c = 128 < 4r(abc)1+e = 4301+e, K(e) = 4.
6. 5 + 27 = 32, c = 32 < 1,1r(abc)1+e = 1,1301+e, K(e) = 1,1.
7. 12 + 13 = 25, c = 25 < 1r(abc)1+e = 13901+e, K(e) = 1.
abc-Гипотеза для натуральных чисел выглядит сложнее, чем для многочленов. Первое, что приходит в голову, - упростить её формулировку: существует такая константа K > 0, что для любой abc-тройки верно неравенство c < Kr(abc). Однако, как показали два студента Йельского университета Стейл Войтек Ястрзебовский и Дэн Шпильман, такое предположение не верно:
Лемма. (1) Для любого k N .
(2) Для любого k N тройка является abc-тройкой, причём с = > r(abc) = 3r().
(3) Не существует такой константы K > 0, что для любого k N для abc-тройки из (1) верно c < Kr(abc).
Доказательство. (1) Индукция по k. База k = 1: 8 = 32 - 1 M 23.
Предположим, что для k = 1, … , m и докажем, что это верно и при k = m + 1: . Действительно, , так что . Первая скобка чётна, т.е. делится на 2, а вторая скобка по предположению индукции делится на 2 m+2. Произведение же скобок делится на 2 m+3, что и требовалось.
(2) То, что - abc-тройка, не вызывает сомнений. Проверим неравенство из формулировки abc-гипотезы.
Во- первых, r(abc) = r(1) = r(). Во-вторых, в каноническом разложении , где s k + 2, простые числа в правой части не равны 3, т.к. иначе, 3 | , 3 | и 3 | 1, что невозможно. Наконец, r() = 32p2 … pk . Таким образом, с = > r(abc).
(3) От противного с учётом предыдущих вычислений:
,
т.е. K > , что невозможно при k .
Лемма доказана.
Утверждение (2) леммы показывает, что существует бесконечно много abc-троек со свойством c > r(abc). Такие тройки называются хитовыми. Расчёты на ЭВМ показывают, что хитовых троек относительно мало: так, для c < 50000 есть только 276 хитовых троек. Приведём все хитовые тройки для c < 1000 (их всего 31):
№тройка№тройка11 + 8 = 9 > r(12332) = 621 + 48 = 49 > r(132472) = 4231 + 63 = 64 > r(1(327)26) = 4241 + 80 = 81 > r(1(245)34) = 3055 + 27 = 32 > r(53325) = 30632 + 49 = 81 > r(257234) = 4273 + 125 = 128 > r(35327) = 3084 + 121 = 125 > r(2211253) = 11091 + 224 = 225 > r(1(257)(3252) = 210101 + 242 = 243 > r(1(2112)35) = 66111 + 288 = 289 > r(1(2532)172) = 102122 + 243 = 245 > r(235(572) = 210137 + 243 = 250 > r(735(253)) = 2101413 + 243 = 256 > r(133528) = 781581 + 175 = 256 > r(34(527)28) = 21016100 + 243 = 343 > r((2252)3573) = 2101732 + 343 = 375 > r(2573(353)) = 21018169 + 343 = 512 > r(1327329) = 182191 + 512 = 513 > r(129(3319)) = 114205 + 507 = 512 > r(5(3132)29) = 3902127 + 512 = 539 > r(3329(7211)) = 4622249 + 576 = 625 > r(72(2632)54) = 2102381 + 544 = 625 > r(34(2617)54) = 51024200 + 529 = 729 > r((2352)23236) = 690251 + 624 = 625 > r(1(24313)54) = 390261 + 675 = 676 > r(1(3352)(22132)) = 39027104 + 625 = 729