Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ww2 = w(-w - 1) = -w2 - w = w + 1 - w = 1, получаем
x - 3u + w3u = k3 + w3k2m + w23km2 + w3m3
x - 3u + w3u = k3 + w3k2m - (w + 1)3km2 + m3
x - 3u + w3u = (k3 - 3km2 + m3) + w(3k2m - 3km2)
.
Из взаимной простоты целых чисел u, x следует взаимная простота целых чисел k, m, что вместе с полученным ранее условием u = v3 даёт разложение v3 = km(k - m) куба целого числа в произведение трёх попарно взаимно простых целых чисел. Поэтому k = p3, m = q3 и k - m = r3 для некоторых p, q, r Z, т.е. p3 = r3 + q3 - равенство, аналогичное исходному, причём модули чисел p, q, r меньше |v| < |v|3 = |u| = < |z| = |x + y||x2 - xy + y2|. Таким образом, для завершения доказательства Великой теоремы Ферма при n = 3 можно применить метод бесконечного спуска.
Теорема доказана.
2. Необходимые уточнения. Приведённое рассуждение не вполне корректно. Так, например, в обосновании нуждается даже вывод о том, что
x - 3u + w3u = (k3 - 3km2 + m3) + w(3k2m - 3km2)
.
Для этого нужно доказать, что из a + wb = c + wd, где a, b, c, d Z, следуют равенства a = c и b = d. Это сделать легко: если b d, то w = Q , что невозможно, ибо w = R .
Существенный пробел доказательства состоит в выводе
(x - 3(1 - w)u)(x - 3(2 + w)u) = n3 x - 3(1 - w)u = (k + wm)3.
Подобное утверждение для целых чисел можно вывести на основании основной теоремы арифметики и только при условии взаимной простоты сомножителей. Следовательно, для завершения доказательства Эйлера нужно развить теорию делимости для чисел из множества K = {a + wb C | a, b Z} и доказать основную теорему арифметики. Это тем более необходимо, если учесть, что для чисел вида a + ib (a, b Z), очень похожих на числа из K, однозначность разложения, вообще говоря, не выполнена:
= 22 = (1 + i)(1 - i).
Не имея возможности дать полное и подробное обоснование однозначности разложения в произведение простых множителей в K, наметим лишь канву рассуждений со всеми необходимыми определениями и примерами, в которых видна идея общего рассуждения.
а. множество K замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и сопряжения:
= (p - q) - wq K ,
(p + wq) (r + ws) = (p r) + w(q s) K ,
(p + wq)(r + ws) = pr + w(qr + ps) + w2qs =
= pr + w(qr + ps) + (-w - 1)qs = (pr - qs) + w(qr + ps - qs) K .
Здесь использованы равенства:
= -1 - w,
w2 = = - 1 - w.
Подмножества в C , замкнутые относительно сложения, вычитания и умножения, называются числовыми кольцами. Значение их в том, что с их элементами можно производить вычисления почти как с целыми числами.
Для удобства в дальнейшем при p, q Z будем, как обычно, отождествлять числа p + qw C и p + wq K, а также p Z и p + w0 K, qw C и 0 + wq K.
б) Пусть a , b K, a 0. Говорят, что a делит b или b кратно a, если b = ag для некоторого g K . Аналогично целым числам вводятся понятия общего делителя и общего кратного нескольких элементов.
Элемент e K \ {0} называется обратимым, если обратный элемент e -1 , который существует в С, лежит в K . Например, w(w2) = w = 1, т.е. w - обратимый элемент в K с обратным w2 = -1 + w(-1) K.
Элементы a, b, … , g K называются взаимно простыми, если любой их общий делитель обратим. Они называются попарно взаимно простыми, если любые два из них взаимно простые.
Элемент ? K называется простым, если в любом разложении ? = ab (a , b K) один из множителей a , b обратим, т.е. разложение тривиально. Не всякое простое целое число будет простым в K : 3 = (i)(-i