Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
с дошли шесть книг из тринадцати его главного труда Арифметика и книга О многоугольных числах. Выражаясь современным языком, он разрабатывал приёмы нахождения рациональных решений алгебраических уравнений от нескольких неизвестных.
Примеры: 1. 3x - 8 = 0 - диофантово уравнение первой степени от одной переменной x. Очевидно, что оно не имеет решений, т.к. 8 не делится нацело на 3. В то же время, это уравнение имеет корень x = , который не является целым.
2. Диофантово уравнение 6x = 24 имеет единственное решение x = 4.
3. В курсе алгебры и теории чисел рассматривают линейные диофантовы уравнения первой степени от двух неизвестных x, y, общий вид которых таков: ax + by = c, где a, b, c - заданные целые числа. Известно, что такое диофантово уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда НОД(a, b) | c - наибольший общий делитель коэффициентов делит нацело правую часть. При выполнении этого условия линейное диофантово уравнение от двух переменных имеет бесконечное число решений.
Нахождение решений произвольных диофантовых уравнений - непростая задача. Более того, в 70-х годах XX в. было доказано, что она алгоритмически неразрешима, т.е. невозможно придумать алгоритм (программу для ЭВМ), который для произвольного заданного диофантова уравнения давал бы ответ на вопрос: Есть у этого уравнения хотя бы одно решение ?.
Тем удивительнее, что для некоторых классов диофантовых уравнений можно получить полное описание их решений. Классической задачей такого рода, обсуждаемой в Арифметике Диофанта, является задача о пифагоровых тройках, т.е. о нахождении всех решений диофантова уравнения x2 + y2 = z2 , представляющего собой соотношение Пифагора для прямоугольного треугольника. Вначале найдём все его рациональные решения, а затем - и все целые решения.
1. Рациональные решения уравнения Пифагора. Во-первых, уравнение переписывается в виде , где отношения , рациональны, если рациональными были x, y. Эти отношения являются рациональными координатами точек на единичной окружности. Точки с рациональными координатами на окружности назовём рациональными. Если все рациональные точки M(u; v) окружности уже описаны, то u2 + v2 = 1 и = u, = v, т.е. x = zu, y = zv , где z Q . Таким образом, задача нахождения всех рациональных решений уравнения Пифагора свелась к описанию всех рациональных точек окружности.
Изложим общий метод нахождения всех рациональных точек окружности, применимый и для многих других кривых, заданных полиномиальными уравнениями.
Выберем на кривой рациональную точку, например точку S(0; -1) на окружности (рис. 1). Если M(u; v) - произвольная рациональная точка, то рациональным будет и .
Обратно, если t Q , то u = t(v + 1) и u2 + v2 = 1, т.е. t2(v + 1)2 + v2 = 1 или (t2+1)v2+2t2v+t2- 1= 0. Здесь дискриминант D = 4t4 - 4(t4 - 1) = 4 и . Если взять знак минус, то получим v = -1, u = t(v + 1) = 0, т.е. точку S(0; -1). Если же брать плюс, то Q .
Таким образом, доказано, что точка на окружности рациональна тогда и только тогда, когда она либо совпадает с S(0; -1), либо получается по формулам при некотором t Q .
Легко понять, что точка S(0; -1) не может быть получена по приведённым формулам ни при каком рациональном t. Можно видоизменить параметризацию, чтобы включить точку S в общие решения. Для этого запишем число t Q в несократимом виде , где m Z, n N , НОД(m, n) = 1. Тогда формулы перепишутся так: . Они определены при любых m, n Z и при n = 0 дают точку S(0;-1). Таким образом, доказана следующая теорема:
Теорема (о рациональных точках на окружности). (1) Все рациональные точки M(x; y) единичной окружности имеют координаты
,
при некоторых m, n Z , НОД(m, n) = 1.
(2) Все рациональные пифагоровы тройки, т.е. рациональные решения уравнения x2 + y2 = z2 задаются формулами , где m, n Z и НОД(m, n) = 1, z Q .
2. Целые решения уравнения Пифагора. Рассмотрим диофантово уравнение x2 + y2 = z2 от трёх неизвестных x, y, z. Оно, конечно, имеет решения: например, (0; 0; 0), (0; 1; 1), (3; 4; 5) и множество других. Решения, в которых одно из чисел равно нулю, называются тривиальными. Ясно, что все тривиальные решения имеют вид: (0; y; y), (x; 0; x), где x, y Z . Поэтому достаточно искать только нетривиальные решения.
Назовём решение (x; y; z) примитивным, если любые два числа в нём взаимно просты, т.е. если НОД(x, y) = НОД(x, z) = НОД(y, z) = 1. Ясно, что если есть некоторое решение (x; y; z) и D = НОД(x, y, z), то x = Dx1 , y = Dy1 , z = Dz1 при некоторых целых x1 , y1 , z1 , причём ввиду x2 + y2 = z2 получаем, сокращая на D2, x12 + y12 = z12, т.е. тройка (x1 ; y1 ; z1) тоже является решением. Кроме того, это решение примитивно: если НОД(