Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
исла 6, 11, 35 попарно взаимно просты.
3. Два числа взаимно просты в совокупности тогда и только тогда, когда они попарно взаимно просты.
Лемма (основное свойство двух взаимно простых чисел). Если целые числа a, b взаимно просты и a | bc, где с Z, то a | c.
Доказательство. Утверждение очевидно, если a = 1. В противном случае из НОД(a, b) = 1 получаем, во-первых, b 0 (иначе НОД(a, b) = |a| > 1), а во-вторых, НОК[a, b] = = |ab| . С другой стороны, bc M b и bc M a, т.е. bc - общее кратное чисел a, b, а значит, по свойства делимости делится нацело на НОК[a, b] = |ab| = ab. Таким образом, bc = abq для некоторого целого q, т.е. c = aq и a | c.
Лемма доказана.
Следствие 1. Если целое число a взаимно просто с b1 , … , bn и для некоторого c Z a делит b1…bnc, то a | c.
Доказательство. Постепенно уменьшаем число сомножителей: из условий a | b1…bnc и НОД(a, b1) = 1 следует по лемме a | b2…bnc . Продолжая этот процесс, на некотором шаге получим a | bnc и НОД(a, bn) = 1, откуда по лемме a | c .
Следствие 1 доказано.
Следствие. Целое число взаимно просто с каждым из нескольких целых чисел тогда и только тогда, когда оно взаимно просто с их произведением.
Доказательство. Если целое число a взаимно просто с каждым из нескольких целых чисел b1 , … , bn , и НОД(a, b1…bn) = D, то D взаимно просто с каждым bi (1 i n): любой общий делитель D и bi является общим делителем a и bi , т.е. равен 1. Поэтому D | b1…bn1, и по следствию 1, D | 1, т.е. D = 1, что и требовалось.
Обратно, если a взаимно просто с b1…bn , то любой общий делитель a и bi будет общим делителем a и b1…bn , т.е. a взаимно просто с bi (1 i n).
Следствие 2 доказано.
Натуральное число p называется простым, если оно имеет ровно два различных натуральных делителя 1 и p.
Примеры: 1. Числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 - простые.
2. Числа -2, 0, 1, 4, 9, 10, 15, - не простые.
Напомним наиболее важные свойства простых чисел.
10. Любые два различных простых числа взаимно просты.
20. Для целого числа a и простого p верно НОД(a, p) > 1 a M p.
30. Простое число делит произведение нескольких целых чисел тогда и только тогда, когда оно делит один из сомножителей.
Основная теорема арифметики. Любое целое число n, модуль которого больше 1, единственным образом записывается в виде канонического произведения , где k 1, {+ , -}, pi - простые числа, ai N и p1 < … < pk .
Пример: Найдём каноническое разложение числа -6230840.
Последовательно делим число n = 6230840 на простые числа:
ni62308403115420155771077885515577122253317928917pi222577111717
Таким образом, 6230840 = 2357211172, а -6230840 = -2357211172. Здесь и далее первые степени простых чисел не пишем.
Следствие (о взаимно простых сомножителях степени). Если имеется разложение nk = m1…ms степени целого числа n в произведение попарно взаимно простых целых ненулевых сомножителей m1 , … , ms , то эти сомножители, с точностью до знака, являются k-ми степенями некоторых попарно взаимно простых чисел. Более точно: mi = eiuik , где ei {-1, 1}, ui N , НОД(ui , uj) = 1 (1 i s, 1 j s), |n| = u1…us , e1…es = .
Доказательство. Запишем mi = ei|mi| , где ei = 1, если mi > 0 и ei = -1, если mi > 0 (1 i s), и аналогично n = d|n|. Тогда, очевидно, получается равенство d k|n|k = (e1…es)|m1|…|ms|, откуда = d = d k = e1…es , |n|k = = |m1|…|ms| . При этом все модули являются натуральными числами, так что осталось доказать утверждение для натуральных чисел.
Пусть n, m1 , … , ms N имеют разложения , (1 i s) в произведения простых чисел, где выполнены неравенства p1 < … < pf , а rij - простые числа, не встречающиеся среди p1 , … , pf . Тогда . Переставляя простые числа в правой части (собирая их в степени с одинаковыми основаниями), получим в левой и правой частях равенства канонические разложения, которые должны быть одинаковыми по основной теореме арифметики. Это показывает, что в правой части должны отсутствовать сомнож?/p>