Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
анах, в том числе и в России, появилось много печатных неправильных доказательств Великой теоремы Ферма.
Общим свойством этих доказательств является то, что они ошибочны уже для наименьшего показателя в теореме Ферма, а именно, для показателя n = 3. Авторы этих работ, преимущественно не математики, оперировали только элементарными средствами. Между тем, известное правильное доказательство, как будет ясно из дальнейшего, уже для показателя n = 3 является неэлементарным.
Замечательные продвижения принадлежат Э. Куммеру (1810-1893), который своими исследованиями по проблеме Ферма оказал решающее влияние на развитие алгебраической теории чисел. В XX столетии его методы были усовершенствованы и дополнены (1929 г. и позже) прежде всего благодаря усилиям У. Вандивера, Г. Ламе и Э. Лемера. К 80-м годам XX в. с использованием ЭВМ неразрешимость уравнения хn + yn = zn в натуральных числах была установлена для всех n 2125000 (З. Вагштафф, 1976 г.). Если принять во внимание, что число 2125000 записывается 37628-ю цифрами, то поиски контрпримера к Великой теореме Ферма представлялись совершенно безнадежным занятием.
июня 1993 г. математик из Принстона Эндрю Вайлс в докладе на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания) анонсировал решение проблемы Ю. Таниямы (о модулярности эллиптических кривых с рациональными коэффициентами). Ранее уже было доказано (в 1985 г. Г. Фрей выдвинул гипотезу, которую в 1986 г. доказал К. Рибет), что из доказательства проблемы Таниямы следует утверждение Великой теоремы Ферма. Однако, в начале декабря 1993 г., когда рукопись Э. Вайлса уже готова была отправиться в печать, в его доказательстве были обнаружены пробелы. Автор извинился и попросил два месяца для исправления. Только через год с небольшим появилось полное доказательство гипотезы Таниямы, но уже двух авторов - Э. Вайлса и его ученика Р. Тейлора [6, 7]. Новых пробелов в этих работах специалистами пока не найдено.
Сама по себе Великая теорема Ферма не имеет большого значения для математики. Однако она сыграла важную роль для развития теории алгебраических чисел, теории идеалов, алгебраической геометрии и математики в целом: попытки её доказательства приводили к открытию новых методов, обогативших многие смежные области математики.
Закончим этот параграф следующими элементарными замечаниями о Великой теореме Ферма.
Лемма (об уравнении xn + yn = zn). (1) Если диофантово уравнение xn + yn = zn имеет нетривиальные целочисленные решения, то оно имеет решение в попарно взаимно простых целых числах.
(2) Великую теорему Ферма достаточно доказать для простых нечётных показателей n = p и для n = 4.
Доказательство. (1) Если xn + yn = zn для x, y, z Z и НОД(x, y, z) = D, то , т.е. , причём целые числа взаимно просты: НОД() = 1. Поэтому сразу можно считать, что НОД(x, y, z) = 1.
Если какие-то два из чисел x , y , z не взаимно просты, то в их канонических разложениях участвует одно и то же простое число p. Пусть, например, оно участвует в x и z, т.е. x M p, y M p. Тогда yn = zn - xn M p, а значит, y M p, вопреки НОД(x, y, z) = 1.
(2) Пусть Великая теорема Ферма доказана для n = 4 и для любого нечётного простого числа n = p. Рассмотрим случай произвольного показателя n.
Если в каноническое разложение n входит нечётное простое число p, т.е. n = pm, то существование нетривиального решения (x; y; z) диофантова уравнения xn + yn = zn равносильно тому, что (xm)p + (ym)p = (zm)p, т.е. существованию нетривиального решения для теоремы Ферма с показателем p - противоречие.
Если же n не делится ни на одно простое нечётное число, то 1 < n = 2k M 4, и аналогичные рассуждения показывают, что n = 4m и (xm)4 + (ym)4 = (zm)4, вопреки теореме Ферма для показателя 4.
Лемма доказана.
3. Метод бесконечного спуска и доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 4
Метод бесконечного спуска. Вот цитата из письма П. Ферма к Каркави от августа 1659 года: Поскольку обычные методы, которые изложены в книгах, недостаточны для доказательства столь трудных предложений, я нашел совершенно особый путь для того, чтобы достичь этого. Я назвал этот способ доказательства бесконечным (infinie) или неопределенным (indefinie) спуском; в начале я пользовался им только для доказательства отрицательных предложений:
-что не существует числа, меньшего на единицу кратного трёх, которое составлялось бы из квадрата и утроенного квадрата;
-что не существует прямоугольного треугольника в числах, площадь которого была бы квадратным числом.
Доказательство проводится путём приведения к абсурду таким способом: если бы существовал какой-нибудь прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством.
Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы в силу подобного рассуждения третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности.
Но если задано число, то не существует бесконечности, п?/p>