Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?тели rij (1 j ti , 1 i s), а показатели степеней при простом числе pl в левой и правой частях равны: kal = (1 l f).
Таким образом, , причём ввиду попарной взаимной простоты чисел m1 , … , ms каждое простое число pi (1 i f) участвует лишь в одном из разложений чисел m1 , … , ms . Поэтому
,
где gl = b1l + … + bsl , но на самом деле в этой сумме лишь одно ненулевое слагаемое. Значит, сравнивая показатели степеней при pl в левой и правой частях равенства, по основной теореме арифметики заключаем, что каждая степень bij делится на k : bij = kgij для некоторого натурального или нулевого gij (1 i s, 1 j f).
Итак,
,
т.е. ui = (1 i s).
Эти числа попарно взаимно просты, т.к. любой общий делитель двух из них ui , uj будет общим делителем взаимно простых чисел mi , mj , а значит, равен 1.
Следствие доказано.
Наконец, напомним простейшие сведения из теории сравнений. Два целых числа a, b называются сравнимыми по модулю m Z \ {0}, если a - b M m.
Примеры: 8 2 (mod 3), т.к. 8 - 2 = 32, -27 12 (mod 5), т.к. разность -27 - 12 = -39 не делится нацело на 5.
Упомянем некоторые важнейшие свойства сравнений.
10. Числа a и b сравнимы по модулю m тогда и только тогда, когда они дают одинаковые остатки при делении на m.
20. Условия a M b и a 0 (mod b) эквивалентны.
30. Любое целое число a сравнимо само с собой по любому модулю m (рефлексивность отношения сравнимости).
40. Если a b (mod m), то b a (mod m) (симметричность отношения сравнимости).
50. Если a b (mod m) и b с (mod m), то a c (mod m) (транзитивность отношения сравнимости).
60. Если a b (mod m), то для любого целого числа c справедливо
a c b c (mod m) , ac bc (mod m).
70. Если a b (mod m) и c d (mod m), то a c b d (mod m).
80. Если a b (mod m) и c d (mod m), то ac bd (mod m).
90. Если a b (mod m), то для любого натурального k верно сравнение ak bk (mod m).
100. Если целые числа a, b, m делятся нацело на число d Z \ {0}, то a b (mod m) тогда и только тогда, когда .
110. Если da db (mod m) и НОД(d , m) = 1, то a b (mod m).
Сравнения дают удобный язык для изучения делимости чисел. Связь сравнений с делимостью выявлена в свойстве 20.
Примеры: 1. Вычислить остаток числа a4 - 8a3 + 19 при делении на 23, если известно, что a даёт при делении на 23 остаток 5.
Если a 5 (mod 23), то
a4 - 8a3 + 19 (a2)2 - 8aa2 + 19 22 - 852 + 19
- 402 + (22 + 19) -(-6)2 + 0 12 (mod 23),
т.е. искомым остатком будет 12.
2. Вычислить 18100 + 20 (mod 25).
18100 + 20 (-7)100 - 5 (72)50 - 5 (-1)50 - 5
1 - 5 -4 21 (mod 25).
Таким образом, не вычисляя числа 18100 + 20, можно сказать, что остаток этого числа при делении на 25 равен 21.
3. Найти младшую цифру числа 2435 - 18 .
Нужно вычислить . Имеем
2435 - 18 435 - 8 (42)174 - (-2) 6174 + 2 64 + 2 4 + 2 = 6 (mod 10).
Здесь использован тот факт, что младшая цифра числа 6k равна 6, т.е. 6k 6 (mod 10). Таким образом, искомой младшей цифрой будет 6.
2. Диофантовы уравнения, пифагоровы тройки и Великая теорема Ферма
Диофантово уравнение - это уравнение вида P(x1 , … , xn) = 0, где левая часть представляет собой многочлен от переменных x1 , … , xn с целыми коэффициентами. Любой упорядоченный набор (u1 ; … ; un) целых чисел со свойством P(u1 , … , un) = 0 называется (частным) решением диофантова уравнения P(x1 , … , xn) = 0. Решить диофантово уравнение - значит найти все его решения, или, как говорят, общее решение этого уравнения. Часто диофантовыми называют и уравнения вида P(x1 , … , xn) = Q(x1 , … , xn), где в левой и правой частях стоят многочлены от переменных x1 , … , xn : их всегда можно записать в виде диофантовых уравнений P(x1 , … , xn) - Q(x1 , … , xn) = 0.
Эти уравнения названы в честь Диофанта Александрийского (жил около III в. до РХ), о жизни которого почти ничего не известно. Через века до на