Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ты: если простое число p - их общий делитель, то p | s или p | t и p | (s2 + t2), откуда по свойствам делимости p - общий делитель взаимно простых чисел s, t, что невозможно. Следовательно, по следствию из основной теоремы арифметики получаем s2 + t2 = b2, st = a2 , и далее s = m2 , t = n2 и m4 + n4 = b2.
Таким образом, по примитивному решению (x; y; z) построено новое примитивное решение (m; n; b), причём b < x12 < z, т.е. реализован метод бесконечного спуска. Значит, диофантово уравнение x4 + y4 = z2 не имеет нетривиальных решений, а значит, их не имеет и уравнение x4 + y4 = z4.
Теорема доказана.
4. Сводка результатов: от Эйлера до Куммера
Уже доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 3 не элементарно. Впервые полученное Эйлером, оно в течение многих лет оставалось идейным источником для дальнейших обобщений и модификаций.
1. Доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 3. Пусть нашлись такие x, y, z Z, что z3 = x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) . Рассмотрим последовательно два случая.
I. x , y, z не делятся на 3. Воспользуемся известным фактом: a3 a (mod 3), в котором легко убедиться непосредственно, рассмотрев все возможности a 0, a 1, a -1 (mod 3) и проверив, что a3 0, a3 1, a3 -1 (mod 3) соответственно. Поэтому z z3 = x3 + y3 x + y (mod 3), т.е. z = x + y + 3u для некоторого целого числа u. Отсюда получаем x3 + y3 = z3 = (x + y + 3u)3 = (x + y)3 + 9(x + y)2u + 27(x + y)u2 + 27u3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 + 9k = x3 + y3 + 3xy(x + y) + 9k.
Значит, 3xy(x + y) + 9k = 0, т.е. xy(x + y) = -3k и xyz xy(x + y) 0 (mod 3), вопреки тому, что x, y, z не делятся на 3.
II. xyz M 3. Без ограничения общности можно считать, что z M 3 : если, например, x M 3, то y3 + (-z)3 = (-x)3, т.е. x, y, z можно менять местами. Кроме того, ввиду попарной взаимной простоты чисел x, y, z можно считать, что x, y не делятся на 3.
Из z3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = (x + y)((x + y)2 - 3xy) (x + y)3 (mod 3) следует, что x + y M 3. Пусть z = 3t, x + y = 3s. Тогда
27t3 = 3s(9s2 - 3x(3s - x)), 3t3 = s(3s2 - 3sx + x2).
При этом 3s2 - 3sx + x2 3 (иначе x M 3), так что s = 3u и получается равенство t3 = u(x2 - 9ux + 27u3). Ясно, что числа u и x2 - 9ux + 27u3 взаимно простые: если p - их общий простой делитель, то p | x2, т.е. p - общий делитель 9u = x + y и x2 , а значит, p - общий простой делитель x и y - противоречие. Итак, произведение взаимно простых чисел u(x2 - 9ux + 27u3) является кубом целого числа. По следствию из основной теоремы арифметики ( 1 главы I), u = v3, x2 - 9ux + 27u3 = n3 для некоторых целых чисел v, n.
Здесь и проявилась гениальность Эйлера: его идея состояла в том, чтобы разложить на множители величину x2 - 9ux + 27u3, что не удаётся сделать в обычных целых числах. Для этого можно рассмотреть квадратное уравнение l2 - 9l + 27 = 0, полученное при l = и найти его корни
l1 = = 3(2 + w),
l2 = = 3(1 - w),
где w = .
Итак, l2 - 9l + 27 = (l - l1)(l - l2) и x2 - 9ux + 27u3 = (x - 3(2 + w)u)(x - 3(1 - w)u) = (x - 6u - w3u)(x - 3u + w3u) = n3.
Таким образом, имеем разложение куба в произведение двух множителей в числах K = {a + wb C | a, b Z}. Сам Эйлер сделал отсюда вывод о том, что множитель x - 3(1 - w)u является кубом (k + wm)3 , где k, m Z , т.е.
x - 3(1 - w)u = (k + wm)3
x - 3u + w3u = k3 + w3k2m + w23km2 + w3m3.
Учитывая, что
w2 = = -w - 1 и w3 =