Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

>. Таким образом, рассматриваемая дробь принадлежит H.

Множество всех модулярных параболических форм веса k и уровня n обозначим через Sk(n).

Примеры: 1. Нулевая функция 0 : H C является, очевидно, модулярной параболической формой веса k и уровня n.

2.Если константа является модулярной параболической формой веса k и уровня n, то эта константа равна нулю.

Действительно, если f(z) = c, то из условия получаем, что

 

, т.е. c = 0.

 

3.Если k - нечётно, то Sk(n) = {0}.

В самом деле, ввиду (-1)(-1) - 00 = 1, то из получаем f(z) = -f(z), т.е. f(z) = 0.

В дальнейшем важную роль сыграют модулярные параболические формы веса 2 и уровня n. Оказывается, что множества S2(n) состоят только из одной нулевой функции при n 10: S2(n) = {0} (0 n 10).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Любая модулярная параболическая форма f Sk(n) удовлетворяет условию при любых целых a, b, c, d со свойством ad - bcn = 1. В частности, при a = 1, d = 1, с = 0 получаем f(z + b) = f(z) при любом b Z. Это показывает, что функция f однозначно определяется своим заданием в полуполосе , т.е. является периодической с периодом T = 1 (рис. 4). Например, f(-7+2i) = = f((0 + 2i) - 7) = f(0 + 2i). Можно доказать, что такую периодическую аналитическую функцию можно представить в виде , где для z = x + iy величина ez = ex(cos y + isin y) - обычная экспонента в комплексной плоскости. Как известно, экспонента периодична с периодом 2?i:

 

ez+2?i = ex+i(y+2?) = ex(cos(y+2?) + isin(y + 2?)) = ex(cos y + isin y) = ez.

 

Поэтому функция q(z) = e2?iz и её любые степени q(z)k = e2?ikz, периодичны с периодом 1:

q(z + 1)k = e2?i(z+1)k = e -2?yk+2?i(x+1)k = e -2?yk+2?ixk+2?ik =

= e -2?yk+2?ixk = e (-2?y+2?ix)k = e2?izk = q(z)k.

 

По сути дела, такое разложение функции f по степеням qk (k N) - это её разложение в ряд Фурье.

Модулярная параболическая форма f S2(n) называется собственной (по аналогии с собственными числами линейных операторов: она является собственной функцией для некоторого семейства операторов - всех операторов Гекке), если все коэффициенты ak в ряде

 

 

являются целыми числами, удовлетворяющими условиям:

 

- a1 = 1;

amk = amak , если НОД(m, k) = 1;

- для любого простого p | n;

для любого простого p n.

 

Наконец, эллиптическая кривая y2 = x3 + ax2 + bx + c с кондуктором N называется модулярной, если существует такая собственная модулярная параболическая форма S2(N), что ap = p - np для всех простых чисел p, за исключением конечного их числа, где np - это число решений сравнения y2 x3 + ax2 + bx + c (mod p).

3. Гипотеза Таниямы. На первый взгляд, кажется невероятным существование хотя бы одной модулярной эллиптической кривой, ибо вышеприведённые условия модулярности и собственности формы слишком сложны, а числа np практически не вычислимы. Однако обширный эмпирический материал и развитая математическая сверхинтуиция позволили экстравагантному японскому математику Ютака Танияме (1927-1958) в 1955 г. сформулировать следующую смелую гипотезу: всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна.

В течение долгого времени эта гипотеза не привлекала внимания математиков из-за своей неправдоподобности. Но в 1970-е годы, благодаря работам Г. Шимуры и А. Вейля она стала популярной, но не на много более понятной, чем раньше. Особенно усилилась её популярность в математической среде после того как в 1985 г. немецкий математик Г. Фрей предположил, а американец К. Рибет доказал, что из гипотезы Таниямы следует Великая теорема Ферма.

Наконец, в 1993 г. математик и Принстона Э. Вайлс объявил о доказательстве той части гипотезы Таниямы, которой хватает для вывода Великой теоремы Ферма. В его рассуждениях были обнаружены пробелы, которые удалось залатать спустя почти два года вместе со своим учеником Р. Тейлором. С тех пор Великая теорема Ферма считается полностью доказанной. Полная версия гипотезы Таниямы была доказана позже усилиями целой группы специалистов, среди которых был и Р. Тейлор.

4. Вывод теоремы Ферма из гипотезы Таниямы. Пусть Великая теорема Ферма не верна, т.е