Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
r. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1-13.). Это был революционный прорыв в изучении алгебраических кривых.
В 1991 г. Ноам Элкис доказал, что гипотеза Морделла следует из abc-гипотезы. Более того, с её помощью можно получить эффективные оценки высоты рациональных точек на алгебраических кривых (Elkies Noam D. abc implies Mordell. Int. Math. Res. Not. 1991, No.7, 99-109 (1991)).
4. Диофантово уравнение pv - pw = qx - qy имеет лишь конечное число решений. Здесь p, q - различные простые числа, v, x, w, y N. В 2003 г. Флориан Люка (Luca) показал, что из abc-гипотезы следует конечность числа наборов (p; q; v; w; x; y), удовлетворяющих этому уравнению (Luca F. On the Diophantine equation // Indag. Math., New Ser. 14, No. 2, 207-222 (2003)).
5. Теорема Туэ-Зигеля-Рота. В 1955 г. Клаусом Ротом (Klaus Roth) была доказана следующая теорема: для любого алгебраического числа a и n > 2 неравенство имеет лишь конечное число несократимых решений . Эта теорема придала окончательную форму исследованиям, начатым в своё время Дирихле, Туэ и Зигелем.
В 1994 г. Энрико Бомбьери доказал, что эта мощная теорема является следствием abc-гипотезы (Bombieri, E. Roths theorem and the abc conjecture // preprint (1994), см. также van Frankenhuysen M. The abc conjecture implies Roths theorem and Mordells conjecture // Math. Contemporanea, 76, 45-72 (1999)). Он получил и эффективную оценку: для любого алгебраического числа a существует такая константа C = C(a), что неравенство выполнено при k C(a)(ln n) -1 / 2 (ln (ln n)) -1.
6. Проблема Брокарда (Brocard): Какие решения имеет диофантово уравнение n ! + 1 = m2 ? Его решения называются парами Брауна (Brown). Очевидно, что решения есть: n = 4, m = 5; n = 5, m = 11; n = 7, m = 71. Есть ли другие решения ?
С помощью abc-гипотезы удалось доказать, что это диофантово уравнение имеет лишь конечное число решений, т.е. пар Брауна лишь конечное число (см. Nitaj, Abderrahmane La conjecture abc. (The abc conjecture) // Enseign. Math., II. Ser. 42, No.1-2, 3-24 (1996), Overholt, Marius The diophantine equation n! + 1 = m2 // Bull. Lond. Math. Soc. 25, No.2, 104 (1993), Dabrowski, Andrzej On the diophantine equation x! + A = y2 // Nieuw Arch. Wiskd., IV. Ser. 14, No. 3, 321-324 (1996)).
7. Простые числа Вифериха (Wieferich). Простое число p называется простым числом Вифериха, если p2 делит 2p - 1 - 1. Эти числа, как ни странно, возникали при доказательствах Великой теоремы Ферма, но их очень мало: среди простых чисел меньших 4.000.000.000.000, всего два числа Вифериха - 1093 и 3511. Отметим, что p | 2p - 1 - 1 для любого нечётного p ввиду малой теоремы Ферма.
В 1988 г. Джозефом Сильверманом (Silverman) было доказано, что abc-гипотеза подтверждает наличие малого количества простых чисел Вифериха: для любого a N существует бесконечно много простых чисел p со свойством p2 не делит a p - 1 - 1 (Silverman, Joseph H. Wieferichs criterion and the abc-conjecture // J. Number Theory 30, No. 2, 226-237 (1988)).
8. Слабая гипотеза Маршалла Холла: Для любого e > 0 существует такая константа С(e) > 0, что если для натуральных x и y верно x3 y2 , то |x3 - y2|> C(e)max(x3, y2) (Nitaj, Abderrahmane La conjecture abc. (The abc conjecture) // Enseign. Math., II. Ser. 42, No.1-2, 3-24 (1996), см. также Schmidt, Wolfgang M. Diophantine approximations and diophantine equations // Lecture Notes in Mathematics. 1467. Berlin etc.: Springer-Verlag. viii, 217 p. (1991)).
9. Гипотеза Эрдёша (Erds) о последовательных степенных целых числах. Натуральное число называется степенным, если любое простое число участвует в его каноническом разложении с показателем 2 или выше. Нетрудно понять, что любое степенное число представимо в виде A2B3 для некоторых натуральных A, B. Гипотеза Эрдёша предполагает, что не существует трёх последовательных степенных чисел.
abc-гипотеза позволяет доказать более слабое утверждение: множество троек последовательных степенных чисел конечно.
Можно доказать, что конечно и множество степенных троек, являющихся последовательными членами арифметической прогрессии и взаимно простыми с разностью этой прогрессии. Действительно, предположив, что есть тройка n, n + k, n + 2k степенных чисел, где НОД(n, k) = 1, можно положить a = k2, b = n(n + 2k) = n2 + 2kn , причём
НОД(a, b) = НОД(k2 , n2 + 2kn) = НОД(k2 , n(n + 2k)) = 1,
т.к. НОД(n, k) = 1 = НОД(k , n + 2k). Итак, получена abc-тройка вида: a = k2, b = n(n + 2k) = n2 + 2kn, c = (n + k)2 = n2 + 2kn + k2. Тогда с учётом того, что r(A2B3) = r(AB) , получим
,
.
При фиксированном k и стремлении n к бесконечности, отношение стремится к 0. И тогда при больших n получим хитовые abc-тройки с мерой хитовости r > 1 при любом сколь угодно малом q > 0 . Таких троек по abc-гипотезе лишь конечное число.
10. Свободные от квадратов значения многочленов. До сих пор не было известно ни одного неразложимого многочлена f(x) степени не меньше 5 с целыми коэффициентами, у которого значения f(n) (n N) свободны от квадратов (т.е. являются произведениями различных простых чисел) для бесконечно многих n