Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
1. Предварительные сведения
2. Диофантовы уравнения, пифагоровы тройки и Великая теорема Ферма
3. Метод бесконечного спуска и доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 4
4. Сводка результатов: от Эйлера до Куммера
ГЛАВА II. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И abc-ГИПОТЕЗА
1. Гипотеза Таниямы и доказательство Вайлса Великой теоремы Ферма
2. abc-гипотеза и Великая теорема Ферма для многочленов
3. abc-гипотеза для натуральных чисел
4. Некоторые следствия abc- и (abc)2-гипотез
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. На полях сочинения Диофанта Арифметика, в котором исследовались рациональные и целые решения уравнения Пифагора x2 + y2 = z2, Пьер Ферма записал одно из самых достопримечательных замечаний в истории математики:
Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось. Таким образом, Большая или Великая, а также Последняя теорема Ферма утверждает, что уравнение xn + yn = zn неразрешимо в натуральных числах при натуральном n > 2 .
Если термин Последняя не имеет разумных объяснений, то величина вклада Великой теоремы Ферма в развитие математики действительно велика: по сути дела, П. Ферма дал толчок развитию новой для своего времени области арифметики, называемой теперь диофантовым анализом и исследующей целые решения диофантовых уравнений P(x1 , … , xn) = 0, где P(x1 , … , xn) - многочлен с целыми коэффициентами от переменных x1 , … , xn . Само по себе уравнение xn + yn = zn не имеет большого значения для математики. Однако, не поддаваясь долгое время решению (доказательство отсутствия решений - это тоже решение), оно сыграло важную роль для развития теории алгебраических чисел, теории идеалов, алгебраической геометрии и математики в целом: попытки доказательства Великой теоремы Ферма привели к открытию новых методов, обогативших многие смежные области математики.
Более подробно история Великой теоремы Ферма будет изложена в 2 главы I. Пока же лишь упомянем, что в доказательстве этой теоремы (для разных n) участвовали многие известные (и даже великие) математики: Л. Эйлер, А. Лежандр, Ж.Л. Лагранж, К.Ф. Гаусс, П.Л. Чебышёв, Э. Куммер, Э. Вайлс, Р. Тейлор и др. В то же время после завещания в 1908 г. Паулем Вольфскелем премии в 100 тысяч германских марок тому, кто первым опубликует доказательство, научный мир заполонили дилетантские работы, издаваемые, как правило, за собственный счёт, с элементарными доказательствами Великой теоремы. С появлением Интернета поток таких псевдогениальных прозрений многократно усилился.
Уже доказательство Л. Эйлера Великой теоремы Ферма для показателя n = 3 неэлементарно. Оно явилось одним из истоков теории алгебраических чисел. Ещё более неэлементарны исследования Э. Куммера, существенно расширившего область показателей, для которых Великая теорема Ферма стала доказанной. В XX столетии его методы были усовершенствованы и дополнены благодаря усилиям У. Вандивера, Г. Ламе и Э. Лемера. К 80-м годам XX в. с использованием ЭВМ неразрешимость уравнения хn + yn = zn в натуральных числах была установлена для всех n 2125000 (З. Вагштафф, 1976 г.). Если принять во внимание, что число 2125000 записывается 37628-ю цифрами, то поиски контрпримера к Великой теореме Ферма стали совершенно безнадежным занятием.
Новую эру в развитии истории Великой теоремы Ферма никто не заметил. Между тем, в 1955 г. экстравагантный японский математик Ютака Танияма (1927-1958) сформулировал следующую смелую гипотезу: всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна (более подробно об эллиптических кривых см. 1 главы II). Вначале её не принял всерьёз ни один из математиков-профессионалов: уж очень она казалась неправдоподобной. Однако в 1970-е годы работы Г. Шимуры и А. Вейля привлекли внимание к ней. Наконец, в 1985 г. немецкий математик Г. Фрей предположил, а американец К. Рибет доказал, что из гипотезы Таниямы следует Великая теорема Ферма.
Кульминация наступила, когда 23 июня 1993 г. математик из Принстона Эндрю Вайлс в докладе на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания) анонсировал решение проблемы Ю. Таниямы (точнее той её части, которой достаточно для обоснования Великой теоремы Ферма). Однако, в начале декабря 1993 г., когда рукопись Э. Вайлса уже готова была отправиться в печать, в его доказательстве были обнаружены пробелы. Автор извинился и попросил два месяца для исправления. Только через год с небольшим появилось полное доказательство но уже двух авторов - Э. Вайлса и его ученика Р. Тейлора [6, 7]. Новых пробелов в этих работах специалистами пока не найдено. Позже усилиями целой группы специалистов, среди которых был и Р. Тейлор, была доказана и полная версия гипотезы Таниямы.
Следует отметить, что доказательство Вайлса-Тейлора является сплавом глубоких математических идей, обогащающих не только теорию чисел и алгебру, но и геометрию эллиптических кривых, и анализ модулярных форм. Сам Вайлс счита?/p>