Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
µт, что создал новую математику. Тем обиднее, что после более десяти лет с момента опубликования доказательства Вайлса-Тейлора в Российской математической среде хранится полное молчание по поводу революционных методов Э. Вайлса (так же как и по поводу не менее революционного доказательства гипотезы Пуанкаре Г. Перельмана).
Следует отметить, что предложенное Э. Вайлсом сложное синтетическое доказательство Великой проблемы Ферма, занимающее в общем объёме более 120 страниц, ставит большие вопросы перед образованием: как готовить специалистов, способных, если не разобраться в доказательстве, то воспринять его понятийную базу и основные идеи ? Тот же вопрос повторен Г. Перельманом в доказательстве гипотезы Пуанкаре…
Наконец, следует упомянуть о новом подходе к доказательству трудных теоретико-числовых проблем (в том числе и Великой теоремы Ферма), наметившемся после формулировки в 1986 г. Массером и Остерле так называемой abc-гипотезы. Её формулировка приведена в 3 главы II, как и обсуждение некоторых нетривиальных следствий этой гипотезы. Хотя она не доказана, но подтверждается справедливостью её аналога для многочленов и расчётами на ЭВМ, показывающими, что контрпример искать бесполезно.
Цель дипломной работы: изучить доступную литературу по истории Великой теоремы Ферма, изложить некоторые элементарные подходы к обоснованию её частных случаев, а также новые методы - с использованием теории эллиптических кривых и привлечением abc-гипотезы.
Для достижения цели решались следующие задачи:
изучить основные понятия и результаты, связанные с теорией диофантовых уравнений, теорией эллиптических кривых и abc-гипотезой;
изучить метод бесконечного спуска и на его основе доказательство теоремы Ферма для n = 4;
проанализировать доказательство Эйлера для n = 3 и суть идей Куммера;
ознакомиться с выводом К. Рибета Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы;
изучить некоторые результаты об abc-гипотезе и вывод из неё Великой теоремы Ферма;
по возможности проиллюстрировать теоретические результаты примерами;
дать полное, и по возможности подробное изложение результатов, доступное пониманию студентов математических факультетов вузов.
Математические методы исследования: в работе используются геометрические, аналитические, алгебраические методы.
Структура работы: Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Во введении дан краткий исторический обзор, сформулированы цели и задачи работы, описана её общая структура. Заключение содержит основные выводы о результатах исследования. Список использованной литературы включает 10 наименований. Общий объём работы - 67 страниц.
Первая глава Великая теорема Ферма и алгебраические числа содержит элементарное доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 4 и обзор методов и идей Эйлера для n = 3 и Куммера для регулярных простых показателей. Более подробно: 1 главы содержит вспомогательные сведения о делимости целых чисел и их сравнимости по модулю, в 2 даётся описание всех пифагоровых троек и краткая история Великой теоремы Ферма, 3 включает описание метода бесконечного спуска и доказательство Великой теоремы Ферма для n = 4, а 4 - обзор идей Эйлера и Куммера её доказательства с помощью теории алгебраических чисел для n = 3 и для регулярных простых показателей.
Вторая глава Великая теорема Ферма и abc-гипотеза содержит посильное изложение вывода Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы ( 1), а также некоторые результаты по abc-гипотезе ( 2-4): в 2 abc-гипотеза формулируется и обосновывается для многочленов, в 3 формулируется и обсуждается abc-гипотеза для натуральных чисел, а 4 содержит вывод из неё некоторых теоретико-числовых результатов, включая Великую теорему Ферма.
Теоретическая и практическая значимость: Дипломная работа имеет теоретическое значение. Хотя она не содержит новых, не известных специалистам математических результатов, но даёт по возможности связное и обоснованное описание трудных, разнородных и разбросанных в литературе методов и идей. Представленное изложение материала по силам студентам математических факультетов вузов, а некоторые разделы работы - даже школьникам старших классов. Поэтому дипломная работа может быть использована в качестве учебного материала для изучения вопросов, связанных с представленными в ней темами, в учебных курсах и спецкурсах для студентов физико-математических специальностей вузов и на факультативных занятиях в школах.
Уровень самостоятельности. Основной творческий вклад автора при написании данной работы состоял в изучении большого объёма трудного для восприятия разнообразного теоретического материала, самостоятельном разборе доказательств (иногда - с помощью научного руководителя), подборе всех иллюстративных примеров и проведении вычислений в них.
Доклад автора по материалам дипломной работы занял третье место на секции Математика традиционных Менделеевских чтений в ТГСПА им. Д.И. Менделеева в 2012 г.
ГЛАВА I. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА ИАЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
1. Предварительные сведения