Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
x, y) = d > 1, то x1 = dx2 , y1=dy2 , d2(x22+y22)= z12 и число z1 делится на любой простой делитель p числа d, вопреки взаимной простоте чисел x1 , y1 , z1 . Аналогично рассматриваются и другие случае НОД(x, z) > 1, НОД(y, z) > 1.
Итак, доказано, что любое решение уравнения Пифагора получается из примитивного умножением всех его компонент на некоторое натуральное число D. Поэтому достаточно искать лишь примитивные пифагоровы тройки. Поскольку каждая такая тройка состоит из рациональных чисел, то можно применить описание рациональных пифагоровых троек.
Прежде всего, заметим, что из x2 + y2 = z2 следует, что одно из чисел x, y чётно, а другое нечётно. Действительно ввиду примитивности тройки x, y не могут быть чётными одновременно. Если x, y оба нечётны, то x2 + y2 чётно, т.е. z чётно и x2 + y2 делится на 4, что ведёт к противоречию: если x=2u+1, y = 2v + 1 (u, v Z), то x2 + y2 = 4(u2 + u + v2 + v) + 2 и не делится на 4.
Поменяв, если нужно, x, y местами (уравнение Пифагора симметрично по x, y), будем считать, что x чётно, а y нечётно. Согласно предыдущей теореме, каждая примитивная тройка (x; y; z) имеет вид при целых z, m, n, НОД(m, n) = 1. Значит, x(m2 + n2) = z2mn, причём числа x и z взаимно простые. По основному свойству взаимно простых чисел получаем m2 + n2 = zt (t Z) и xt =2mn, y = , т.е. m2 - n2 = yt . Отсюда 2m2 = (z + y)t, 2n2 = (z - y)t, т.е. t - общий делитель чисел 2m2 и 2n2. Поэтому t делит НОД(2m2, 2n2)=2НОД(m2,n2)=2.
Если t = 2, то m2 + n2 = 2z M 2, т.е. взаимно простые числа m, n оба нечётны, и кроме того, 2x = 2mn, т.е. x= mn - нечётно, вопреки выбору x.
Значит, t = 1, x = 2mn, y = (m2 - n2), z = (m2 + n2), где целые числа m, n взаимно простые разной чётности (иначе y чётно), а комбинации знаков могут быть любыми. Учитывая возможность поменять местами x, y, получаем ещё возможность x = (m2 - n2), y = 2mn, z = (m2 + n2). Любая целочисленная тройка получается одновременным умножением компонент описанных выше примитивных троек на произвольное целое число.
Легко проверить непосредственно, что найденные тройки действительно являются пифагоровыми: так, для x = (m2 - n2), y = 2mn, z = (m2 + n2) получаем
x2 + y2 = (m2 - n2)2 + (2mn)2 = m4 - 2m2n2 + n4 + 4m2n2 =
= m4 + +2m2n2 + n4 = (m2 + n2)2 = z2 .
доказательство теорема ферма уравнение
Таким образом, доказана
Теорема (о пифагоровых тройках). Любая пифагорова тройка имеет один из следующих видов:
,
где D, m, n - целые числа, m и n взаимно простые разной чётности.
Именно сочинение Диофанта Арифметика, изданное в 1621 году в переводе Клода Гаспара де Баше де Мазирьяка (1581-1630), в котором исследовались рациональные и целые решения уравнения Пифагора, дало повод Пьеру Ферма записать на полях этого перевода одно из самых достопримечательных замечаний в истории математики:
Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось. Таким образом, большая или Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение xn + yn = zn, ни при каком натуральном n, большем двух, неразрешимо в натуральных числах.
К сожалению, сам Ферма не оставил своего чудесного доказательства, в его записках было обнаружено обоснование лишь частного случая этой теоремы для n = 4. Долгие годы все усилия по доказательству Великой теоремы Ферма были тщетны, продвижения начали появляться лишь, начиная с XVIII в.: Л. Эйлер доказал теорему Ферма для n = 3 (1770 г), А. Лежандр - при n = 5 (1825 г), и Г. Ламе - для n = 7 (1839 г).
В 1908 году Пауль Вольфскель завещал премию в 100 тысяч германских марок тому, кто первым представит доказательство. В результате инфляции после первой мировой войны величина премии в настоящее время ничтожна. К тому же как указывает Г. Эдвардс в своей книге о теореме Ферма [5], премия была назначена лишь за доказательство предположения - нахождение контрпримера не принесло бы ни пфеннига его открывателю !
После объявления о премии Великой теоремой Ферма занялись не только профессионалы, но и широкая публика. Так как в условие награждения входило требование, чтобы доказательство было опубликовано, а научные издательства не желали принимать ложных доказательств, то авторы печатали свои доказательства на собственный счет. Так во многих стр