Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
s K .
Пример: Найдём каноническое разложение элемента a = 126 - w68.
Ясно, что 126 - w68 = 2(63 - w34), причём 2 - простой элемент в K: если 2 = ab , то N(a)N(b) = 4, т.е. N(a) = 2 = N(b), что невозможно, т.к. квадратное уравнение x2 - yx + y2 = 2 относительно x не имеет решений ввиду того, что его дискриминант D = 8 - 3y2 не является квадратом целого числа при y Z.
Разложим b = 63 - w34. Вначале разложим на множители число b = = N(63 - w34) = 632 + 6334 + 342 = 7267 = 13243. Таким образом, в разложение b могут входить лишь простые элементы, участвующие в разложениях простых натуральных чисел 13 и 43.
Число 13 уже было разложено выше: 13 = (-3 + w)(-4 - w). Если разделить b на -4 - w, то
,
т.е. деления нацело нет. Однако при делении b на -3 + w имеем:
= -22 +w3.
Таким образом, b = (-3 + w)(-22 + w3). Остаётся разложить g = -22 + w3 c нормой N(-22 + w3) = N(b) / 13 = 1343.
Снова поделим на простое число -3 + w с нормой 13:
= 7 + w.
Значит, g = (-3 + w)(7 + w), где N(7 + w) = 43 - простое натуральное число, так что 7 + w - простой элемент в K.
Итак, a = 126 - w68 = 2(-3 + w)2(7 + w) - каноническое разложение в K.
и) Следствие (о разложении степени). Если в K некоторая степень разложена в произведение необратимых попарно взаимно простых сомножителей: zn = u1 … uk , то каждый сомножитель ui является (с точностью до обратимого множителя) той же степенью подходящего элемента из K: ui = eitin , (1 i k), z = et1 … tk , en = e1 … ek .
Основываясь на этих результатах, закончим обоснование гениальной догадки Эйлера.
В полученном разложении (x - 3u + w3u)(x - 6u - w3u) = n3 сомножители x - 3(1 - w)u и x - 3(2 + w)u взаимно просты. Действительно, любой их общий простой в K делитель ? делит и комбинации
(x - 3(1 - w)u) - (x - 3(2 + w)u) = 3(2 + w - 1 + w)u = 3(1 + 2w)u,
(2 + w)(x - 3(1 - w)u) - (1 - w)(x - 3(2 + w)u) = (1 + 2w)x.
Он не может делить u и x, т.к. иначе u2 = N(u) M N(?) и x2 = N(x) M N(?), вопреки взаимной простоте целых чисел u, x. Значит, ? | (1 + 2w) - простое в K с нормой 3, и можно считать, что
? = 1 + 2w = 1 - w + 3w = 1 - w + (1 - w)(1 - )w =
= (1 - w)(1 + (1 - )w) = (1 - w)w,
т.е. ? | (1 - w). Из ? | (x - 3(1 - w)u) получаем ? | x , N(?) | N(x) или 3 | x2 - противоречие с выбором x 3.
Итак, n3 = (x - 3(1 - w)u)(x - 3(2 + w)u) - разложение куба в произведение двух взаимно простых в K множителей. Значит,
x - 3(1 - w)u = e(k + wm)3 = w e(k + wm)3 (e {0, 1, 2})
для некоторых целых k, m и обратимого e {1, w, w2} . Здесь учтено, что (-e(k + wm)3 = e(-k - wm)3). Более подробно, правая часть равна:
e = 0: k3+3wk2m+3w2km2+m3 = (k3-3km2+m3)+3wkm(k-m);
e = 1: w((k3-3km2+m3)+3wkm(k-m)) = -3km(k-m)+w(k3-3k2m+m3);
e = 2: w2((k3-3km2+m3)+3wkm(k-m)) = -k3+3k2m-m3-w(k3-3km2+m3).
Последние два случая невозможны, в чём легко убедиться, рассматривая полученное равенство по модулю 3: при e = 1 имеем x - 3u = -3km(k-m), т.е. x M 3 - противоречие, а при e = 2 получаем 3u = -k3+3km2-m3, т.е. k3 + m3 делится на 3, так что из x - 3u = -k3+3k2m-m3 снова x M 3 - противоречие.
Итак, x - 3(1 - w)u = (k + wm)3, и доказательство Эйлера полностью обосновано (по модулю сформулированных выше свойств кольца K).
Таким образом,