Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
> r((2313)5436) = 39028343 + 625 = 968 > r(7354(23112)) = 770291 + 728 = 729 > r(1(2391)36) = 5463025 + 704 = 729 > r(52(2611)36) = 330311 + 960 = 961 > r(1(2635)312) = 930
Смысл хитовости понятен: только хитовые тройки могут дать контрпример к abc-гипотезе, поэтому именно на них нужно сосредоточить особое внимание. Можно ввести меру хитовости abc-тройки : для abc-тройки (a; b; c) положим
Ясно, что это равенство эквивалентно следующим соотношениям:
ln c = rln r(a, b, c)
c = erln r(a, b, c) = (eln r(a, b, c))r c = r(a, b, c)r(a, b, c), r(a, b, c) = log r(a, b, c) c .
Оказывается, что все известные abc-тройки имеют ограниченную меру хитовости. Вот первые три тройки в хит-параде хитовых троек:
. a = 2, b = 310109, c = 235, r = 1,62991…
2. a = 112, b = 325673, c = 22123, r = 1,62599…
3. a = 191307, b = 7292318, c = 2832254, r = 1,62349…
Для примера приведём меры хитовости для всех хитовых троек со значениями c < 1000:
№тройкаr№тройкаr11 + 8 = 91,22629…21 + 48 = 491,0412…31 + 63 = 641,11269…41 + 80 = 811,29203…55 + 27 = 321,01897…632 + 49 = 811,17571…73 + 125 = 1281,42656…84 + 121 = 1251,02719…91 + 224 = 2251,01290…101 + 242 = 2431,31110…111 + 288 = 2891,22518…122 + 243 = 2451,02882…137 + 243 = 2501,03260…1413 + 243 = 2561,27279…1581 + 175 = 2561,03704…16100 + 243 = 3431,09175…1732 + 343 = 3751,10843…18169 + 343 = 5121,19875…191 + 512 = 5131,31757…205 + 507 = 5121,04562…2127 + 512 = 5391,02512…2249 + 576 = 6251,20396…2381 + 544 = 6251,03261…24200 + 529 = 7291,00841…251 + 624 = 6251,07904…261 + 675 = 6761,09219…27104 + 625 = 7291,10484…28343 + 625 = 9681,03443…291 + 728 = 7291,04586…3025 + 704 = 7291,13667…311 + 960 = 9611,00479…
В связи с этим естественно возникают следующие вопросы:
О верхней грани меры хитовости: существует ли такое число g, что для всех abc-троек выполнено неравенство r(a, b, c) g ?
О конечности числа abc-троек с высокой мерой хитовости: верно ли, что для любого h > 1 существует лишь конечное число abc-троек со свойством r(a, b, c) h, и бесконечно много abc-троек, для которых выполнено 1 < r(a, b, c) < h ?
Оба эти утверждения пока не доказаны, но и не опровергнуты. Ясно, что из положительного ответа на второй вопрос следует положительный ответ и на первый: если h > 1 и лишь конечное число abc-троек имеют меры хитовости r1 , … , rk больше h, то можно взять g = max{r1 , … , rk } + 1. С другой стороны, положительный ответ на второй вопрос эквивалентен справедливости abc-гипотезы:
Теорема (об эквивалентных формулировках abc-гипотезы). Следующие утверждения эквивалентны:
(1) abc-гипотеза: для любого e > 0 существует константа K(e) > 0, для которой c K(e)r(a, b, c)1 + e для любой abc-тройки;
(2) для любого e > 0 существует лишь конечное число хитовых abc-троек со свойством с > r(a, b, c)1 + e ;
(3) для любого h > 1 существует лишь конечное число abc-троек со свойством r(a, b, c) h .
Доказательство. (1) (2) От противного: пусть для некоторого e > 0 есть бесконечное множество хитовых abc-троек {(ai ; bi ; ci )}i N со свойством r(ai , bi , ci)1 + e < сi . По abc-гипотезе для числа найдётся такая константа K = , что ci Kr(ai , bi , ci), а значит, будут верны неравенства r(ai , bi , ci)1 + e < ci Kr(ai , bi , ci) , r(ai , bi , ci) < K, т.е. ограничена последовательность {r(ai ; bi ; ci )}i N : r(ai , bi , ci) < K . Поэтому ограничена последовательность {ci} i N : ci Kr(ai , bi , ci) < K , вопреки бесконечности рассматриваемого множества хитовых троек.
(2) (3) Пусть для любого e > 0 существует лишь конечное число хитовых abc-троек со свойством с > r(a, b, c)1 + e. Выбрав число h > 1 и взяв e = h - 1, получим набор хитовых троек (ai ; bi ; ci ) (1 i k), удовлетворяющих неравенствам сi > r(ai , bi , ci)h . Если тройка (a ; b ; c) имеет меру хитовости , то c = r(a, b, c)r(a, b, c) > r(a, b, c)h, так что любая такая тройка должна совпадать с одной из (ai ; bi ; ci ) (1 i k), что и требовалось.
(3) (1) Пусть для любого h > 1 существует лишь конечное число abc-троек со свойством r(a, b, c) h c = r(a, b, c)r(a, b, c) r(a, b, c)h . Зафиксировав произвольное e > 0 и положи?/p>