Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
3c - a2b2 - 18abc + 27c2 + 4b3).
Примеры: 1. Кривая y2 = x3 не полустабильна: её дискриминант нулевой, т.к. a = b = c = 0, а правая часть имеет трёхкратный корень x = 0 по любому простому модулю.
2. Пусть A, B - взаимно простые целые числа, С = A + B. Тогда эллиптическая кривая y2 = x(x - A)(x - C) полустабильна.
Действительно, уравнение кривой имеет вид y2 = x3 - (A + C)x2 + ACx, а её дискриминант вычисляется так:
D = -16(- (A + C)2(AC)2 + 4(AC)3) = -16(AC)2(A - C)2 = -16A2B2C2.
Поэтому, если p | A2B2C2, то p делит одно из чисел A, B, C, причём два из этих чисел не могут делиться на p ввиду взаимной простоты A и B: например, если A M p, C M p, то B = (C - A) M p - противоречие. Таким образом, корни x 0, x A, x C (mod p) правой части уравнения кривой не могут все быть одинаковыми.
Определим для эллиптической кривой y2 = x3 + ax2 + bx + c понятие кондуктора, ограничившись только важным для дальнейшего случаем, т.к. общее его определение требует далеко выходящих за рамки данного изложения понятий. Грубо говоря, кондуктор собирает в одно произведение все простые числа, участвующие в каноническом разложении дискриминанта эллиптической кривой. При этом степень ep , с которой простое число p входит в кондуктор, равна 1, если a2 3b (mod p). Эта степень ep равна 2, если p > 3 и a2 3b (mod p). В случае, когда сравнение x3 + ax2 + bx + c 0 (mod p) не имеет решений, степень ep совпадает с показателем, с которым p входит в каноническое разложение дискриминанта D. Остальные возможности p = 2, 3 для кривой с условием a2 3b (mod p) исследуются более сложно, но они не встретятся в дальнейшем, так что оставим их без комментариев.
Примеры: 1. Для кривой y2 = x3 - x + 1 имеем
D = -16(4a3c-a2b2-18abc+27c2+4b3) = - 16(2712 + 4(-1)3) = -2423.
Таким образом, N = 2e23d. Остаётся вычислить степени e , d.
Поскольку многочлен x3 - x + 1 не имеет корней по модулю 2, то e = 4. По модулю 23 имеем a2 3b 02 3(-1) (mod 23). Поэтому d = 1.
Итак, кондуктор эллиптической кривой y2 = x3 - x + 1 равен N = 2423.
2. Пусть A, B - взаимно простые целые числа, С = A + B. Вычислим кондуктор эллиптической кривой y2 = x(x - A)(x - C), дискриминант которой вычислен ранее: D = -16A2B2C2 . Следовательно, в кондуктор N войдут двойка, а также нечётные простые числа, делящие A2B2C2, т.е. делящие одно из чисел A, B, C: N = . Вычислим показатели, с которыми эти простые числа входят в кондуктор. При этом 2 | ABC, т.к. в равенстве A + B = C все три числа не могут быть нечётными.
Ясно, что x(x - A)(x - C) = x3 - (A + C)x2 + ACx, т.е. a = A + C, b = AC и a2 - 3b = A2 - AC + C2 . Это выражение не сравнимо с нулём по модулю p, если p | A или p | C : если A2 - AC + C2 0 (mod p), то A 0 C (mod p), что противоречит взаимной простоте чисел A, B, C. Если же p | B, то A C (mod p) и A2 - AC + C2 A2 0 (mod p) - противоречие.
Таким образом, a2 3b (mod p), т.е. ep = 1 для всех p | ABC.
Итак, кондуктор эллиптической кривой y2 = x(x - A)(x - C), где C = A + B, НОД(A, B) = 1, является произведением всех простых чисел из канонического произведения дискриминанта
D = 16A2B2C2, т.е. N = .
. Модулярные формы и модулярные эллиптические кривые. Пусть H - верхняя комплексная полуплоскость n N, k Z. Модулярной параболической формой веса k и уровня n называется заданная и дифференцируемая на H (аналитическая в H) функция f : H C со следующими свойствами:
,
где a, b, c, d - любые такие целые числа, что ad - bcn = 1, а r Q .
Нетрудно заметить, что для любого z H элемент при условии ad - bcn = 1 тоже принадлежит H, так что данное определение корректно. В самом деле,
,
где в знаменателе дроби стоит положительное число |ncz + d|2 , а числитель имеет мнимую часть, равную adIm(z) - bncIm(z) = Im(z) > 0