Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
?тели дают разложение НОД(f , f ) = для некоторой ненулевой константы pn . Значит,
d(f) = m1 + … + mr = (m1 - 1) + … + (mr - 1) + r = = d(НОД(f , f)) + r(f).
Лемма доказана.
Закончим доказательство теоремы Мейсона-Стотерса. Прежде всего, три многочлена Da(t) = НОД(a , a), Db(t) = НОД(b , b), Dc(t) = НОД(c , c) попарно взаимно просты. Действительно, любой делитель первых двух является общим делителем a(t) и b(t), а значит, тривиален. Точно так же общий делитель, например, первого и третьего из этих многочленов будет общим делителем a(t) и c(t), и делителем c(t) - a(t) = b(t), откуда снова следует тривиальность этого общего делителя.
Далее, из условия a(t) + b(t) = c(t) получаем аналогичное соотношение a(t) + b(t) = c(t) для производных. Значит,
a(t)b(t) - a(t)b(t) = a(t)(a(t) + b(t)) - a(t)(a(t) + b(t)) = a(t)c(t) - a(t)c(t).
При этом Da = НОД(a , a) и Db(t) = НОД(b , b) делят левую часть, а многочлен Dc(t) = НОД(c , c) делит правую часть, а значит, и левую. Поскольку все эти три многочлена попарно взаимно просты, то левая часть рассматриваемого равенства a(t)b(t) - a(t)b(t) делится и на произведение этих трёх многочленов Da(t)Db(t)Dc(t). Тогда
(DaDbDc) = d(Da) + d(Db) + d(Dc) d(a(t)b(t) - a(t)b(t))
max{d(a(t)b(t)), d(a(t)b(t))} d(a) + d(b) - 1.
Прибавляя d(c) к обеим частям и переставляя слагаемые, получим
d(c) + d(Da ) + d(Db ) + d(Dc ) d(a) + d(b) + d(c) - 1,
т.е. d(c) d(a) - d(Da ) + d(b) - d(Db ) + d(c) - d(Dc ) - 1.
Согласно лемме получаем d(c) r(a) + r(b) + r(c) - 1 = r(abc) - 1 ввиду взаимной простоты многочленов a(t), b(t), c(t).
Теорема доказана.
Рассмотрим некоторые следствия доказанной abc - Теоремы для многочленов, иллюстрирующие её скрытую силу.
Теорема (Великая теорема Ферма для многочленов). Уравнение x(t)n + y(t)n = z(t)n с неизвестными многочленами x(t), y(t) , z(t) C[t] , n 3 допускает только тривиальные решения: либо один из многочленов x(t), y(t), z(t) нулевой, либо все эти многочлены являются константами.
Доказательство. Пусть x(t), y(t), z(t) - тройка ненулевых многочленов со свойством x(t)n + y(t)n = z(t)n. Если хотя бы один из этих многочленов не является константой, то можно выбрать такую нетривиальную тройку с наименьшей суммой d(x) + d(y) + d(z).
Прежде всего, можно считать эти многочлены попарно взаимно простыми. Действительно, если, например, p(t) - неразложимый многочлен положительной степени, делящий какие-то два из рассматриваемых многочленов, то, очевидно, что он делит и n-ю степень третьего многочлена, а значит, делит и сам третий многочлен. Значит, x(t) = p(t)u(t), y(t) = p(t)v(t), z(t) = p(t)w(t), и сократив равенство x(t)n + y(t)n = z(t)n на p(t)n получим, что u(t)n + v(t)n = w(t)n, причём d(u) + d(v) + d(w) = d(x) - d(p) + d(y) - d(p) + d(z) - d(p) < d(x) + d(y) + d(z),
вопреки предположению о минимальности последней суммы степеней.
Итак, можно считать, что тройка x(t), y(t), z(t) нетривиальна и состоит из попарно взаимно простых многочленов. Тогда взаимно просты и многочлены a(t) = x(t)n, b(t) = y(t)n, причём a(t) + b(t) = c(t) = z(t)n. По abc - теореме
max(d(a) , d(b), d(c)) r(abc) - 1 = r(a) + r(b) + r(c) - 1,
nmax(d(x), d(y), d(z)) r(x) + r(y) + r(z) - 1 d(x) + d(y) + d(z) - 1.
В частности, отсюда следует, что nd(x) d(x) + d(y) + d(z) - 1, т.е.
(n - 1)d(x) d(y) + d(z) - 1.
Аналогично, (n - 1)d(y) d(x) + d(z) - 1, (n - 1)d(z) d(x) + d(y) - 1. Складывая три полученных неравенства, приходим к оценкам
(n - 1)(d(x) + d(y) + d(z)) 2(d(x) + d(y) + d(z)) - 3,
(n - 3)(d(x) + d(y) + d(z)) - 3,
что невозможно при n 3.
Теорема доказана.
Замечание. Как и для натуральных чисел, уравнение Ферма для многочленов при n = 2 имеет бесконечно много решений, например, такие:
x(t) = 2u(t)v(t), y(t) = u(t)2 - v(t)2, z(t) = u(t)2 + v(t)2
при любых u(t), v(t) C[t].
3. abc-гипотеза для натуральных чисел
Теоретико-числовая abc-проблема формулируется следующим образом: при любом e > 0 существует такая константа K(?) > 0, что для всех взаимно простых натуральных чисел a, b, c со свойством a + b = c, верно неравенство c K(?)(r(abc))1+e , где для заданного натурального числа n с каноническим разложением n = символ r(n) обозначает выражение p1 … pk и называется радикалом числа n (при этом считаем, что r(1) = 1).
Именно в таком довольно неестественном виде эта гипотеза была сформулирова?/p>