Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
. для какого-то простого числа s > 3 верно равенство a s + b s = c s, т.е. A + B = C, где A = as , B = bs , C = cs , НОД(A, B) = 1.
Рассмотрим эллиптическую кривую Фрея, в модулярности которой он усомнился первым, что и подтвердил доказательством К. Рибет:
y2 = x(x - A)(x - C) = x3 - (A + C)x2 + ACx.
Эта кривая уже встречалась ранее: она полустабильна, вычислен её дискриминант D = 16A2B2C2 и кондуктор .
Теорема (Рибета). Пусть g : y2 = x3 + ax2 + bx + c - модулярная эллиптическая кривая с дискриминантом , кондуктором и собственной модулярной параболической формой S2(N) веса 2 и уровня N. Тогда для любого простого числа r и существует такая модулярная параболическая форма S2(Nr) с целыми коэффициентами, что при любом натуральном k верно (bk - ak) M r.
Если применить эту теорему к рассматриваемой кривой Фрея, то
.
Действительно, каждое нечётное простое число p, участвующее в разложении дискриминанта, встречается ровно один раз (либо в A, либо в B, либо в C ввиду попарной взаимной простоты этих чисел) с показателем, делящимся на s, и поэтому сократится в Ns . Число 2 участвует в дискриминанте в степени вида sk + 4 3, так что 2 участвует в числителе, но не участвует в знаменателе, т.е. будет значением Ns .
По теореме Рибета найдётся форма
S2(2)
со свойством: при любом натуральном k верно (bk - ak) M s. Однако, как отмечалось выше, S2(2) = {0}, поэтому bk = 0 (k N), а значит, ak M s при любом k N, вопреки условию a1 = 1.
Великая теорема Ферма доказана.
Изложенное доказательство теоремы Ферма снова подчёркивает всеединство математики. Для того чтобы понять рассуждения Вайлса, нужно быть специалистом экстра класса не только в современной (алгебраической) теории чисел, но понимать, как весьма тонкие аналитические методы теории модулярных форм, так и причудливую геометрию алгебраических кривых. Это не под силу ни узким специалистам в одной области математики, ни широко, но не глубоко образованным дилетантам. Такая ситуация обостряет проблемы математического образования: как нужно готовить студентов, чтобы они были способны воспринимать новейшие методы науки ?
2. abc-гипотеза и Великая теорема Ферма для многочленов
В последнее время наметился новый нетривиальный подход к доказательству Великой теоремы Ферма. Так называемая abc-гипотеза для многочленов была доказана в 1983 г. Р. Мейсоном (Mason R.C. Diophantine Equations over Function Fields // London Math. Soc. Lecture Note Series, Vol. 96, Cambridge University Press, 1984). Впоследствии обнаружилось, что полученный им результат в действительности уже был открыт ранее В. Стотерсом (Stothers W. Polynomial identities and hauptmoduln. Quart. Math. Oxford (2) 32 (1981), pp. 349-370), но математики, как это часто бывает, не обратили внимания на эту работу.
abc-Теорема Мейсона-Стотерса. Пусть a(t), b(t), c(t) C[t] - не равные константе взаимно простые полиномы со свойством a(t) + b(t) = c(t). Тогда max(d(a) , d(b), d(c)) < r(abc) - 1, где d(f) - степень многочлена f(t), и для заданного многочлена p(t) с каноническим разложением p(t) = символ r(p) обозначает выражение p1(t) … pk(t) и называется радикальным многочленом для p(t).
Замечание: На самом деле r(p) - это просто количество различных корней многочлена p(t) в поле комплексных чисел без учёта их кратностей. Действительно, все простые над С имеют степень 1, так что полиномы p1(t), … , pk(t) в каноническом разложении многочлена p(t) имеют степень 1 и определяют один корень многочлена. Поэтому для многочлена p(t) = верно r(p) = k - количество различных корней многочлена.
Доказательство. Это доказательство принадлежит ученику выпускного класса Н. Снайдеру, который нашёл его после беседы с С. Ленгом, сформулировавшим для него теорему Мейсона-Стотерса. Сейчас этот школьник уже окончил Гарвардский университет.
Лемма. Пусть f(t) - многочлен положительной степени, f(t) - его производная. Тогда d(f) = d(НОД(f , f )) + r(f).
Доказательство. Во-первых, сделаем замечание о корнях полинома f(t). Пусть a - корень f(t), т.е. такое комплексное число, что f(a) = 0. Разложим f(t) по степеням двучлена t - a, записав f(t) = fn(t - a)n + … + fm(t - a)m, где fn 0 fm , m 1 - кратность корня a . Тогда можно вычислить производную f(t) = nfn(t - a)n-1 + … + mfm(t - a)m-1, т.е. m - 1 является наибольшей степенью двучлена t - a , делящей f(t).
Пусть теперь a1 , … , ar - все различные корни многочлена f(t) кратностей m1 , … , mr соответственно. Тогда f(t) = . Сделанное в предыдущем абзаце замечание и однозначность разложения на множ?/p>