Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
. Бровкин Д., Филасета М., Гривс Г. и Скинзель А. (Browkin J., Filaseta M., Greaves G., Schinzel A.) доказали, что abc-гипотеза позволяет утверждать, что этим свойством обладают многочлены деления круга и f(x) = = xn-1 + xn-2 + … + x + 1 (см. Browkin J., Filaseta M., Greaves G., Schinzel A. Squarefree values of polynomials and the abc-conjecture // Greaves, G. R. H. (ed.) et al., Sieve methods, exponential sums, and their applications in number theory. Proceedings of a symposium, Cardiff, UK, July 17-21, 1995. Cambridge: Cambridge University Press. Lond. Math. Soc. Lect. Note Ser. 237, 65-85 (1997)).
11. Гипотеза Чинзеля-Тиджемана (Schinzel-Tijdeman). Эта гипотеза утверждает, что если многочлен p(x) с рациональными коэффициентами имеет по крайней мере 3 простых корня, то диофантово уравнение p(x) = y2z3 имеет лишь конечное число нетривоальных решений (x; y; z). В 1999 г. П. Уолш (Walsh) доказал, что это следует из abc-гипотезы (Walsh P.G. On a conjecture of Schinzel and Tijdeman // Gyoery, Kalman (ed.) et al., Number theory in progress. Proceedings of the international conference organized by the Stefan Banach International Mathematical Center in honor of the 60th birthday of Andrzej Schinzel, Zakopane, Poland, June 30-July 9, 1997. Volume 1: Diophantine problems and polynomials. Berlin: de Gruyter. 577-582 (1999)).
12. Задача округления. Пусть x - положительное вещественное число. Тогда для правильного округления числа в n-битовой арифметике нужно вычислить 3n + 1 старших битов. В 2004 г. Э. Крут, Р. Ли и Х. Джунь доказали, что использовав abc-гипотезу, можно ограничиться 2n старшими битами (Croot E., Li R., Zhu H. The abc conjecture and correctly rounded reciprocal square roots // Theor. Comput. Sci. 315, No. 2-3, 405-417 (2004)).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате выполнения дипломной работы были достигнуты все поставленные во введении цели:
изучены основные понятия и результаты, связанные с теорией диофантовых уравнений, теорией эллиптических кривых и abc-гипотезой;
изучены метод бесконечного спуска и на его основе доказательство теоремы Ферма для n = 4;
изложены идеи доказательств Эйлера для n = 3 и суть идей Куммера;
изложено вывод К. Рибета Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы;
изучены некоторые результаты об abc-гипотезе и вывод из неё Великой теоремы Ферма;
теоретические результаты проиллюстрированы примерами;
результаты изложены, по возможности, полно, подробно, доступно пониманию студентов математических факультетов вузов.
Дипломная работа имеет теоретическое значение. В ней сделаны лишь первые шаги по осмыслению подходов к доказательству Великой теоремы Ферма: хотя в работе нет новых, не известных специалистам математических результатов, но она даёт по возможности связное и обоснованное описание трудных, разнородных и разбросанных в литературе методов и идей. Представленное изложение материала по силам студентам математических факультетов вузов, а некоторые разделы работы - даже школьникам старших классов. Поэтому дипломная работа может быть использована в качестве учебного материала для изучения вопросов, связанных с представленными в ней темами, в учебных курсах и спецкурсах для студентов физико-математических специальностей вузов и на факультативных занятиях в школах.
Работа по изучению доказательства Великой теоремы Ферма может быть продолжена в дальнейшем.
ЛИТЕРАТУРА
1.Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: Наука, 1972.
2.Бухштаб А.А. Теория чисел. - СПб: Издательство Лань, 2008.
3.Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. - М., 1965.
4.Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. - M., 1961.
5.Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. - М.: Мир, 1980.
6.Wiles A. Modular Elliptic Curves and Fermats Last Theorem // Annals of Math., 1995, Vol. 141, P. 443-552.
7.Wiles A., Taylor R. Ring theoretic properties of certain Hecke algebras // Annals of Math., 1995, Vol. 141, P. 553-572.
8.Гипотеза АВС // Электронный ресурс. - Режим доступа:://mindspring.narod.ru/math/ega/Lang/HypotABC.htm
9.Математическая энциклопедия [Электронный ресурс] / ООО РМГ Мультимедиа. - Электрон. текстовые и граф. дан. - М.: РМГ Мультимедиа, Большая Российская Энциклопедия, 2006. - (М: ООО РМГ Компании, 2006). - 2 электронных опт. диска (CD-ROM). - Систем. требования: Wn 98/Me/2000/XP, Pentium 166, 64 Mb RAM.
10.Следствия из гипотезы о тройках АВС // Электронный ресурс. - Режим доступа: