Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству

Дипломная работа - Математика и статистика

Другие дипломы по предмету Математика и статистика

i>) = = (1 + 2w)(-1 - 2w), причём элементы -1 - 2w, 1 + 2w не обратимы: например, (1 + 2w)-1 = K, т.к. из равенства = m + wn = = m + n получим невозможное 2i = 6m - 3n + i3n.

Два элемента a, b K называются ассоциированными, если a = eb для некоторого обратимого элемента e K. В этом случае пишут a ~ b.

в) Для элемента a = p + wq K определим норму

 

N(a) = (p + wq)(p + w2q) = p2 +(w + w2)pq + q2 = p2 - pq + q2 Z ,

 

которая на самом деле совпадает с квадратом модуля комплексного числа a : p + w2q = p + q = . Таким образом, N(a) = a = |a|2 0, и справедливы следующие свойства квадрата модуля:

 

(N1) N(a) = 0 a = 0;

(N2) N(a)N(b) = |a|2|b|2 = |ab|2 = N(ab);

(N3) N(1) = 1.

 

г) Лемма (об обратимых элементах). Следующие условия для элемента a K эквивалентны:

(1) элемент a K обратим;

(2) N(a) = 1;

(3) a {1, -1, w, -w, w2, -w2}.

д) Теорема (о делении с остатком). В числовом кольце K выполняется алгоритм деления с остатком относительно нормы, т.е. для любых a K, b K \ {0} существуют такие g , d K , что a = bg + d и N(d) < N(b).

Пример: Разделим a = 2 - w5 на b = 3 + w2 с остатком.

Вначале вычислим частное обычных комплексных чисел

 

.

 

Теперь найдём ближайшие целые числа к дробям и : -1 и -3 соответственно и образуем число g = -1 + w(-3). Поэтому a = bg + d , где

d = a - bg = 2 - w5 - (3 + w2)(-1 + w(-3)) = 2 - 5w + 3 + 11w + 6w2 = 5 + 6w - 6(w + 1) = -1 + w0, причём N(d) = N(-1 + w0) = (-1)2 - (-1)0 + 02 = 1 < 32 - 32 + 22 = 7 = N(b).

Таким образом, частное g = -1 + w(-3), и остаток d = -1 + w0.

е) Лемма (основное свойство простых элементов). Если ? - простой в K элемент и ? | abg , где a , b, … , g K , то ? делит один из сомножителей a , b , … , g .

ж) Лемма (о простых числах). (1) Элемент ? = x + wy - простой в K тогда и только тогда, когда

либо ? ~ p для некоторого простого натурального числа p, неразложимого в K,

либо N(?) = (x + wy)(x + y) = p - простое натуральное число. Все остальные элементы с нормой p имеют вид ?e или e для обратимого элемента e K .

Пример: Найдём все простые элементы в K с нормой 13.

Если ? = x + wy - простой элемент в K и N(?) = 13 = x2 - xy + y2 = 13, то x2 - xy + y2 - 13 = 0 - уравнение для x, и D = y2 - 4(y2 - 13) = 52 - 3y2 0, т.е. 3y2 52, |y| 4 (x , y Z). При y = 1 находим x = -3, т.е. ? = -3 + w.

Значит, в K число 13 = (-3 + w)(-3 + ) = (-3 + w)(-4 - w) разложимо в произведение простых сомножителей: если, скажем, -4 - w = -3 + = ab, то N(-4 - w) = 13 = N(ab) = N(a)N(b), значит, N(a) = 1 или же N(b) = 1 т.е. один из элементов a , b обратим.

Значит, остальные простые элементы с нормой 13 имеют вид e? или e для обратимых элементов e {1, w, w2}, т.е.

w? = w(-3 + w) = -w3 - w - 1 = -1 - w4, w = w(-4 - w) = 1 - w3,

w2? = w2(-3 + w) = (w + 1)3 + 1 = 4 + w3 , w2 = w2(-4 - w) = 3 + w4.

В итоге получаем все элементы с нормой 13:

(3 - w), (4 + w), (1 + w4), (1 - w3), (4 + w3), (3 + w4).

з) Теорема (основная теорема арифметики кольца K). (1) Любой ненулевой элемент из K либо обратим, либо является произведением некоторого обратимого и нескольких простых элементов из K.

(2) Такое разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей и ассоциированности: если e?1?s = dr1rt , то s = t и после перестановки сомножителей справедливы равенства ?i = liri (1 i s), d = el1ls для некоторых обратимых элементов l1 , … , l