Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
? спуску меньших его (все время подразумеваются целые число). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью.
Этот метод бесконечного или неопределенного спуска действительно сделался одним из наиболее мощных средств диофантова анализа.
После П. Ферма его с успехом применяли Л. Эйлер и Л. Лагранж, а в наши дни - Л. Дж. Морделл, А. Вейль и другие. При этом метод был распространен на проблемы решения уравнения в рациональных числах. Осуществить метод спуска в общем случае теоремы Ферма мешает неединственность разложения целых чисел алгебраических колец в произведение простых сомножителей из того же кольца.
Проиллюстрируем суть метода бесконечного спуска простыми примерами.
Примеры: 1. Докажем, что - иррациональное число.
Предположим противное, т.е. что , где p, q N. Тогда имеем q = p, 2q2 = p2, откуда видно, что p чётно: p = 2p1 (p1 Z). Поэтому q2 = 2p12, и теперь q чётно: q = 2q1 (q1 Z). Кроме того, . Таким образом, начав с пары таких натуральных чисел (p; q), что , получили новую пару натуральных чисел (p1 ; q1) , где p1 … бесконечной быть не может. Полученное противоречие доказывает, что предположение о рациональности числа было неверно.
2. Докажем, что диофантово уравнение x2 + y2 = 3z2 имеет только тривиальное решение x = y = z = 0.
Предположим, вопреки доказываемому, что (x; y; z) - нетривиальное решение. Тогда x и y делятся на 3. Действительно, рассматривая уравнение по модулю 3, получим сравнение x2 + y2 0 (mod 3), которое выполнено только при x 0 y (mod 3), в чём легко убедиться, перебрав возможные значения x, y {0, 1, 2}:
x / y012002 + 02 002 + 12 102 + 22 1112 + 02 112 + 12 212 + 22 2222 + 02 122 + 12 222 + 22 2Теперь x = 3x1 , y = 3y1 и 3(x12 + y12) = z2 , значит, z = 3z1 . Поэтому x12 + y12 = 3z12. Таким образом, начав с нетривиального решения (x; y; z), получили новое нетривиальное решение (x1 ; y1 ; z1 ), причём |x1| … не может быть бесконечной. Полученное противоречие показывает, что предположение о существовании нетривиального решения рассматриваемого уравнения x2 + y2 = 3z2 было неверным.
Проблема Ферма для показателя n = 4. Дадим короткое доказательство, использующее классификацию пифагоровых троек.
Теорема (о диофантовом уравнении x4 + y4 = z2). Диофантово уравнение x4 + y4 = z2 не имеет решений в натуральных числах. В частности, не имеет решений в натуральных числах и уравнение x4 + y4 = z4.
Доказательство. Пусть (x; y; z) - натуральное решение, т.е. x, y, z N. Если D = НОД(x, y) > 1, то для любого простого числа p, входящего в каноническое разложение D , число p4 входит в разложение z2, а значит, p2 входит в разложение z. Поэтому равенство x4 + y4 = z2 можно последовательно сокращать на p4 , не нарушая вида этого равенства. Таким образом, через несколько шагов придём к аналогичному соотношению со взаимно простыми числами x, y.
Если НОД(x, y) = 1, то НОД(x, z) = 1 = НОД(y, z). Действительно, если, например, x и z делятся на некоторое простое число, то на это число делится и y4, а значит, y вопреки условию НОД(x, y) = 1. Таким образом, можно считать, что (x; y; z) - примитивное решение уравнения, т.е. все числа x, y, z попарно взаимно просты.
Если (x; y; z) -примитивное решение диофантова уравнения x4 + y4 = z2 в натуральных числах, то (x2; y2; z) - примитивная пифагорова тройка. Следовательно, она имеет один из следующих видов:
,
где u, v - взаимно простые целые числа разной чётности ( 1).
Рассмотрим только первую возможность, когда y нечётно, т.к. во втором случае всё аналогично. Тогда y2 + v2 = u2, т.е. (y; v; u) - тоже пифагорова тройка, причём примитивная, т.к. u, v взаимно простые числа. Значит, можно считать, что y = s2 - t2, v = 2st, u = s2 + t2 для некоторых взаимно простых натуральных чисел s, t. Поэтому из x2 = 4st(s2 + t2) следует x = 2x1 , где x12 = st(s2 + t2), причём числа st и s2 + t2 взаимно прос