Математика и статистика

481. Законы движения планет
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Рис. 3. Гипербола. Гипербола изображена на рис. 3. AA' = 2a - действительная ось, A, A' - вершины, О - центр, F1 и F2 - фокусы (точки, лежащие на действительной оси по обе стороны от центра на расстоянии с > a от него), NN' - мнимая ось (|NN'| = 2b = 2*(c2 - a2)), p = b2/a - фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус перепендикулярно действительной оси). Эксцентриситет e = c/a > 1. Гипербола определяется как геометрическое место точек, для каждой из которых разность расстояний до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная и равная 2a. Если для произвольной точки М обозначить |MF1| = r1 и |MF2| = r2, то точки, для которых r1 - r2 = 2a, лежат на одной ветви гиперболы (на рис. 3 - левой), а для которых r2 - r1 = 2a - на другой ветви (правой).
482. Законы Кеплера
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Эллипс определяется как геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух заданных точек (фокусов F1 и F2) есть величина постоянная и равная длине большой оси: r1 + r2 = |AA´| = 2a. Степень вытянутости эллипса характеризуется его эксцентриситетом е. Эксцентриситет е = ОF/OA. При совпадении фокусов с центром е = 0, и эллипс превращается в окружность. Большая полуось а является средним расстоянием от фокуса (планеты от Солнца): a = (AF1 + F1A')/2. Она связана с механической энергией тела следующим соотношением: Так как при движении по эллипсу полная энергия отрицательна, большая полуось больше нуля. Длина малой полуоси b зависит от секториальной скорости тела (т.е. скорости изменения площади, заметаемой радиус-вектором): Круговые орбиты являются вырожденным случаем эллиптических. Записывая второй закон Ньютона, получим, что кинетическая и потенциальная энергия тела на круговой орбите связаны соотношением: 2K = U. Применяя закон сохранения энергии, легко получить, что K = E. Т.о. при круговом движении сумма полной и кинетической энергии всегда равна нулю. Элементы орбиты характеризуют форму, размеры и ориентацию в пространстве орбиты небесного тела, а также положение тела на этой орбите. В настоящее время для описания положения планеты или спутника широко используются оскуллирующие элементы. Точка орбиты тела, ближайшая к притягивающему центру (фокусу), в общем случае называется перицентром, а наиболее удаленная от него (только у эллипса) апоцентром. Если притягивающим центром является Земля, то эти точки называются соответственно перигеем и апогеем. Наиболее близкая точка к Солнцу называется перигелий, наиболее удаленная афелий. Для Луны эти точки будут перилунием (периселением) и аполунием (апоселением), для произвольной звезды периастром и апоастром. Прямая, соединяющая перицентр с фокусом (большая ось эллипса, ось параболы или действительная ось гиперболы), называется линией апсид. Расстояние от притягивающего центра до перицентра равно АF1 = a (1 e), до апоцентра F1A' = a (1 + e). Среднее расстояние от притягивающего центра до тела, движущегося вокруг него по эллипсу, равно длине большой полуоси.
483. Законы распределения случайных величин. Доверительный интервал
Контрольная работа пополнение в коллекции 24.07.2010

Случайная величина Х задана функцией распределения (интегральной функцией) f(x). Требуется: а) найти дифференциальную функцию f(x) (плотность вероятности); б) найти математическое ожидание и дисперсию Х; в) построить графики функций f(x) и f(x).
484. Замечательные кривые
Информация пополнение в коллекции 09.12.2008
1. Цепочка Галилея
2. Цепная линия
3. График показательной функции
4. Подбор длины цепочки
5. А если длина не та
6. Все цепные линии подобны
485. Замечательные кривые
Дипломная работа пополнение в коллекции 14.10.2011

Построим приближенно одну арку циклоиды, описанную при качении круга на данной прямой. Разделим этот отрезок на некоторое число равных частей, например на 6, и для каждой точки деления изобразим наш круг в том его положении, когда он опирается именно на данную точку (рис. 38), занумеровав эти положения цифрами: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Чтобы перейти из одного положения в соседнее, круг должен повернуться на одну шестую полного оборота (т.к расстояние между соседними точками деления равно шестой части окружности). Поэтому если в положении 0 мел будет находиться в точке М0, то в положении 1 он будет лежать в точке M1 - на одной шестой окружности от точки касания, в положении 2 - в точке М2 - на две шестых от точки касания и т. д. Чтобы получить точки M1, M2, М3 и т.д., нужно лишь производить засечки соответствующей окружности, начиная от точки касания
486. Замечательные кривые в математике
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 10.).
487. Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль ...
Информация пополнение в коллекции 09.12.2008

Вообразим бесконечно длинную секундную стрелку, по которой, начиная от центра циферблата, неутомимо бежит маленький жучок с постоянной скоростью v см/с. Через минуту жучок будет на расстоянии 60v см от центра, через две - 120v и т.д. Вообще, через t секунд после начала пробега расстояние жучка от центра будет равно vt см. За это время стрелка повернется на угол, содержащий 6 t° (ведь за одну секунду она успевает повернуться на угол 360°:60 = 6°). Поэтому положение жучка на плоскости циферблата через любое число t секунд после начала движения находится так. Нужно отложить от начального положения стрелки в направлении ее вращения угол а, содержащий 6t°, и отмерить от центра вдоль нового положения стрелки расстояние r = vt см. Тут мы и настигнем жучка (рис. 10.).
488. Замкнутые инвариантные пространства функций на кватернионных сферах
Статья пополнение в коллекции 12.01.2009

В заключение несколько слов об инвариантных алгебрах на кватернионных сферах. Унитарно-инвариантные алгебры были описаны в [4], их пространства максимальных идеалов были найдены в работе [5]. В симплектическом случае дело существенно усложняется из-за кратности представлений в пространствах однородных полиномов. Однозначного разложения на неприводимые компоненты не получается, и, как следствие, мера Хаара не будет мультипликативной. Уже при n=1 возникает большое число инвариантных алгебр, не инвариантных относительно действия унитарной группы.
489. Записать задачу двойственную к данной, решить одну из пары задач и отыскать оптимальное решение второй
Контрольная работа пополнение в коллекции 26.08.2010

Если прямая задача является задачей максимизации, то во всех неравенствах двойственной задачи будут стоять знаки ?, и знаки ?, если прямая задача является задачей минимизации.
490. Запрещенные арифметические операции возможны
Доклад пополнение в коллекции 12.01.2009

Герман Вейль (Weyl), которого называли тонким знатоком проблем математики и точного естествознания, по-видимому, перегибал палку, когда определял математику как науку о бесконечном (ВейльГ. О философии математики. 1934г., стр.9 и 90). По моему мнению, сфера математики значительно шире. Однако, введение арифметических операций с бесконечностью безусловно потрясает здание математики. Здесь та же проблема: изменять определение бесконечности, или учредить новый термин. Для второго варианта я предлагаю название нелли : первые две буквы из моей фамилии, а в целом имя моей жены, чьи положительные качества неистощимы. Дефиниция будет такой: нелли бесконечность, с которой совершаются арифметические операции.
491. Зарождение и создание теории действительного числа
Информация пополнение в коллекции 23.11.2009

Дедекинд, также как и Вейерштрасс, обнаружил логическую трудность перехода от геометрического анализа к арифметическому, состоящую в неопределенности вещественного числа. Свое построение действительного числа Дедекинд относит к осени 1858 года. Поход к вещественному числу Дедекинда близок к подходу Евдокса настолько, что некоторые математики не сразу видели различие[10]. Дедекинд исходит из геометрического представления о том, что точка делит прямую на две части, которые условно можно назвать правой и левой. Далее Дедекинд определяет сечение множества рациональных чисел как пару подмножеств Q, такую что любой элемент из одного множества всегда больше любого элемента из другого множества. Для определенности будем считать, что . Сечения могут быть определены рациональным числом, тогда либо имеет минимальный элемент, либо имеет максимальный элемент. Если же мы построим сечение обладающее таким свойством, то оно определяет рациональное число. Однако, существуют сечения не имеющие такое свойство, например сечение всех рациональных чисел, определенное неравенством . Таким образом, при помощи сечения можно определить новое число,которое однозначно определяется сечением. Отношение равенства и порядка устанавливаются при помощи двух множеств сечения Дедекинд показал, что существует только три соотношения между классами сечения, которые и определяют упорядоченность поля вещественных чисел. Как и Кантор, он доказал полноту построенного множества чисел.
492. Зарождение математики в Древнем Китае
Информация пополнение в коллекции 10.09.2010

ПЭКЧЕ. В VVI вв. в Китае прославились математики Цзу Чун и его сын Цзу Хэн. и строительство Цзу Чун вычислил отношение длины окружности к ее диаметру (число пи), которое получило приближение 3,1415927... В Европе к этому пришли лишь в 1573 г. Значение данного вычисления было высоко оценено математиками Дальнего Востока. В Японии число пи получило наименование «числа цзу». Цзу осуществил подробное исследование и комментарий китайской «Математики в девяти книгах» (Цзючжан суаньму»), разработку китайского календаря. Обмеры развалин дворцов и храмов Пэкче показывают, что в строительстве широко применялся принцип масштабности, пропорциональности. Так, при обмере строений горной крепости в Оксо ширина нижней части квадрата платформы составила 40 футов (т. е. чи государств Восточная Вэй и Коре), а верхней квадратной платформы 36 футов, таким образом, деревянная надстройка занимает 3/5 нижней платформы, т. е. 24 фута. Расстояние между столбами тоже составляет 8 футов. Верхняя часть платформы как бы делится на 20 частей. При постройке этой платформы в основу была положена ее нижняя часть, и в дальнейшем строители руководствовались простой пропорциональностью. Излюбленной формой при постройке платформ был квадрат или прямоугольник, одна из сторон которого была вдвое больше другой. Этот строительный прием уходит корнями в ханьскую архитектуру. Для выполнения ответственных строительных работ был создан при дворе инженерный отдел, в который входили мастера по возведению храмов, каменотесы-гранильщики, мастера по изготовлению черепицы, декораторы. Строители Пэкче славились своим мастерством, они помогали Силла возводить 9-этажную пагоду монастыря Хванёнса, в 577, 588 гг. они ездили в Японию с аналогичной целью. У себя в стране они воздвигали сложные дворцовые ансамбли.
493. Зарождение науки о закономерностях случайных явлении
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Задача кавалера де Мере. Кавалер де Мере, один из французских придворных, был азартным игроком. Денежный выигрыш при игре в косит обычно зависит от комбинации выпивших чисел, на которую делается ставки. Одна из таких комбинацийвыпадение хотя бы одной шестёрки при четырёх бросаниях игральной кости. Де мере смог подсчитать число шансов этой комбинации. Общее число исходов при четырёх бросаниях игральной кости равно 64=1296. Число шансов появления хотя бы одной шестерки составляет 6-5 =671 , так как шестёрки не выпадает ни разу в 5 случаях. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестёрки при четырёх бросаниях равна 671/1296~0,518> 1/2, поэтому при четырёх бросаниях выгодно делать ставку на то, что выпадет хотя бы одни шестёрка. чем на то, что не выпадет ни одной. Повидимому, многие опытные игроки знали, что первая комбинация появляется чаще, чем вторая, и найти партнёра ни такую игру было трудно. Более сложные комбинации возникали, если бросали сразу две кости. Де Мере пытался определить, сколько раз надо бросить пару костей, чтобы вероятность хотя бы одного появления двух шестёрок была больше 1/2. Он подсчитал, что достаточно 24 бросаний. Однако опыт игрока заставил де Мере сомневаться в правильности своих вычислений. Тогда он обратился с этой задачей к математику Блезу Паскалю, который предложил правильное решение. Учёный определил, что при 24 бросаниях пары костей две шестёрки появляются хотя бы раз с вероятностью, меньшей 1/2, а при 25 бросанияхс вероятностью, большей 1/2.В самом деле, если бросить один раз пару костей, две шестёрки выпадут с вероятностью 1/36, а не выпадутс вероятностью 1-1/36=35/36. При n бросаниях пары костей число шансов непоявления пары шестерок равно 35, а общее число исходов составит 35.Поэтому игрок, делающий ставку на событие А выигрывает примерно а 50,5% игр, а игрок, делающий ставку на событие А примерно в 49,1% игр. Эта задача кавалера де Мере заставила Паскаля заняться изучением случайных событий. А в переписке Блеза Паскаля и Пьера Ферма впервые стали упоминаться понятия теории вероятностей. Подсчёт всех возможных и благоприятствующих данному событию случаев нередко представляет большие трудности. Вот почему для решения таких задач некоторые игроки обращались к крупным учёным. Рассказывают, что Гюйгенсу был задан такой вопрос: Если бросить одновременно три игральных кости, то какая сумма очков будет выпадать чаще11 или 12? Подсчёт всех различных случаев здесь прост: N=6 =216. Подсчёт же М здесь сложен. Сумма 11 может получиться следующими шестью различными способами: 1+4+6, 1+5+5, 2+3+6, 2+4+5, 3+3+5. 3+4+4. Также шестью различными способами образуется сумма 12: 1+5+6, 2+4+6, 2+5+5, 3+3+6, 3+4+5, 4+4+4. Это обстоятельство наводит на мысль, будто обе суммы должны появляться одинаково часто. Однако это неверно. Уже на практике было замечено, что сумма 11 появляется чаще суммы 12. Дело а том, что вышеуказанные по три числа сами по себе неодинаково часто выпадают. Так, если каждую из трех костей окрасить по-разному, скажем в белый, красный и зелёный цвет, то становится ясным, что сочетание, а котором имеются три различных слагаемых, например (1+4+6), может получаться шестью различными способами:
494. Застосування методу Монте-Карло для кратних інтегралів
Контрольная работа пополнение в коллекции 20.12.2010

Датою народження методу Монте-Карло визнано вважати 1949 рік, коли американські учені Н. Метрополіс і С. Услам опублікували статтю під назвою «Метод Монте-Карло», в якій були викладені принципи цього методу. Назва методу походить від назви міста МонтеКарло, що славився своїми гральними закладами, неодмінним атрибутом яких була рулетка один з простих засобів здобуття випадкових чисел з хорошим рівномірним розподілом, на використанні яких заснований цей метод. Метод МонтеКарло - це статистичний метод. Його використовують при обчисленні складних інтегралів, вирішенні систем рівнянь алгебри високого порядку, моделюванні поведінки елементарних часток, в теоріях передачі інформації, при дослідженні складних економічних систем. Суть методу полягає в тому, що в завдання вводять випадкову величину , що змінюється по якому те правилу . Випадкову величину вибирають так, щоб шукана в завданні величина стала математичною чекання від , тобто .
495. Застосування програмних засобів GRAN1 та GRAN-2D на уроках алгебри
Статья пополнение в коллекции 08.05.2010
1. Бевз Г. П. Алгебра: Проб. підруч. для 7-9 кл. серед. шк. К.: Освіта, 1996. 303 с.
2. Горох О. Комп'ютер на уроці математики // Математика. 2007. №2. С. 9-12.
3. Жалдак М. І. Комп'ютер на уроках математики: Посібник для вчителів. К.: Техніка, 1997. 303 с.
4. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з алгебри. 9 клас. За редакцією З.І.Слєпкань. Харків: «Гімназія», 2002. 144 с.
5. Крайчук О., Шемейко А. Задачі з параметрами. Інтегрований урок з математики та інформатики в 11 класі // Математика. 2007. №13. С. 21-24.
6. Слєпкань З. І. Методика навчання математики: Підруч. для. студ. мат. спеціальностей пед. навч. закладів. - К.: Зодіак-ЕКО, 2000. 512 с.
496. Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції
Контрольная работа пополнение в коллекции 16.11.2010
1. Корнейчук Н. П. Сплайны в теории приближения. / Н. П. Корнейчук. М. : Наука, 1984. 352с.
2. Сплайн интерполяция. // Електронний ресурс: http://petrsu.karelia.ru/psu/Deps/IMO/Complex/part3/part34_a.htm
3. Калиткин Н. Н. Численные методы. / Н. Н. Калиткин. М. : Нака, 1978. 512с.
4. Селиванова И. А. Интерполяция сплайнами. / И. А. Селиванова.Свердловск: УПИ, 1989. 11с.
5. Пак Т. В. Лабораторные работы по Численным методам. / Т. В. Пак. Учебно-методическое пособие. Владивосток: Изд-во Дальневост. ун-та, 2006. 24с.
6. Завьялов Ю. С. Методы сплайн-функций. / Ю. С. Завьялов, Б. И. Квасов, В. Л. Мирошниченко. М. : Наука, 1980. 280с.
7. В-сплайн. // Електронний ресурс: http://uk.wikipedia.org/wiki/B-сплайн
8. Шикин Е. В. Кривые и поверхности на экране компьютера. / Е. В. Шикин, Л. П. Плис. Руководство по сплайнам для пользователей. М. : ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. 240с.
9. В-сплайны. // Електронний ресурс: http://www.masters.donntu.edu.ua/2005/kita/tribrat/library/splines.htm
497. Зведення та групування статистичних даних
Курсовой проект пополнение в коллекции 12.02.2011

Питання про вибір кількості груп та величину інтервалів є дуже складним, вирішення його пов`язане з конкретним завданням дослідження. Як загальний принцип виступає вимога, щоб кількість груп була не надто великою і не надто малою, і щоб до кожної групи потрапила достатня кількість одиниць сукупності. Якщо цей принцип не додержується, то при побудові значної кількості груп може бути такий випадок, що однорідні одиниці сукупності опиняться у різних групах. І навпаки, при побудові незначної кількості груп до однієї й тієї ж групи будуть заноситися різні одиниці, що може привести до помилкових висновків усього проведеного статистичного дослідження. Наприклад, віковий інтервал осіб, які засуджені, включає в себе осіб у віці 30 50 років, складає найбільшу питому вагу серед усіх осіб, хоча злочинна активність після 30 років (якщо розглядати по окремому року) знижується. Але за зведеними статистичними даними різних звітів це важко встановити, тому що цей інтервал охоплював двадцять вікових груп, а інші інтервали значно менше. («Статистична картка на підсудного (обвинуваченого)» включає такі вікові групи: 14 16; 16 18; 18 25; 25 30; 30 50; 50
498. Звездные системы и метагалактика
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

В этот же период Э.Хаббл, В.Слайфер, М.Хьюмасон и другие астрономы занимались фотографированием спектров галактик и обнаружили, что некоторые из галактик, согласно результатам измерений доплеровского смещения спектральных линий, движутся с поразительными скоростями. Эффект Доплера представляет собой изменение длины волны наблюдаемого света от объекта, который приближается к наблюдателю или удаляется от него. Если объект приближается, то возникает фиолетовое смещение, а если удаляется, то красное. Э.Хаббл показал, что скорость относительного движения галактик прямо пропорциональна расстоянию между ними (рис. 3). Почти у всех галактик наблюдались красные смещения, что говорило о том, что они от нас удаляются. И только галактики Местной группы имели фиолетовое смещение. Например, средняя скорость удаления от галактик скопления в созвездии Девы составляет 1000 км/с. В настоящее время астрономы обнаружили объекты, удаляющиеся со скоростями, равными 80 и более процентов скорости света. Связь между скоростями галактик и расстояниями до них известна под названием закона Хаблла
499. Звёзды
Доклад пополнение в коллекции 12.01.2009

В каталогах звезд обычно наряду с другими параметрами указываются спектральные классы, которые определяются наличием в спектре звезды той или иной линии поглощения и ее интенсивностью. А поскольку эти особенности спектра зависят от температуры поверхности звезды и от наличия химических элементов, «ответственных» за соответствующую спектральную линию, то спектральный класс позволяет более точно определить температуру звезды, чем ее цвет. Последовательность спектральных классов соответствует температурной последовательности, и в этой последовательности звезды, располагаясь в порядке убывания температуры, обозначаются буквами О, В, A, F, G, К, М (это первые буквы слов мнемонической фразы, позволяющей легко запомнить эту последовательность: «О Be A Fine Girl Kiss Me», в переводе: «О будь хорошей девочкой, поцелуй меня»). Существует еще несколько дополнительных спектральных классов, обозначаемых буквами R, N, S, С, WN, WC, к которым относят редкие звезды с отклонениями в химическом составе. Каждый спектральный класс разбивают на десять подклассов, присоединяя к соответствующей букве цифры от 0 до 9 (от более горячей к более холодным). Таким образом все звезды разбиты на спектральные классы от О5 до М8. Солнце, температура поверхности которого около 6000 К, относится к звездам спектрального класса G2. Звезды классифицируются также по размеру и светимости - количеству энергии, излучаемой всей поверхностью звезды за 1 с. Так, звезды типа Антареса (а Скорпиона), радиус которого превышает радиус орбиты Марса, относятся к сверхгигантам; звезды белого цвета с очень слабой светимостью, по размерам не превышающие Земли, относятся к белым карликам.
500. Звезды и люди
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Знакомясь с техникой астрологических прогнозов, ученые обычно задаются двумя вопросами: насколько точно оправдываются прогнозы астрологов и в какой степени с точки зрения физики могут влиять планеты на Землю и человека? Рассмотрим сначала второй вопрос. Из всех видов физических взаимодействий сколько-нибудь серьезно можно говорить лишь о гравитации остальные поля, потоки частиц и излучения от звезд и планет так слабы в окрестности Земли, что их регистрация даже чуткими современными приборами требует немалых усилий. Какие небесные объекты влияют на Землю и в каково это влияние? Прежде всего, влияет Луна. Ближайшая к Луне точка земного шара притягивается к ней на 6% сильнее, чем наиболее удаленная. Эта разница сил растягивает нашу планету вдоль направления Земля Луна. А поскольку тело Земли вращается относительно этого направления с периодом около 25 часов, по телу нашей планеты с таких же периодом пробегает двойная приливная волна два «горба» в направлении растягивания и две «долины» между ними. В твердом теле планеты высота этих горбов невелика, всего около полуметра. Такая же она и в открытом океане. Поэтому мы не замечаем приливов ни в океане, ни на суше. И только на узкой береговой полосе можно заметить приливы-отливы благодаря подвижности океанской воды, которая, набегая приливной волной на берег, может по инерции подняться весьма высоко.

Blog

Математика и статистика