Математика и статистика

321. Графическое решение уравнений
Контрольная работа пополнение в коллекции 06.11.2010

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx, у = kx+m, у = x2, у = - x2, в 8 классе - у = vx, у =|x|, у = ax2+bx+c, у = k /x. В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x3, у = x4, у = x2n, у = x-2n, у = 3vx, (x - a)2 + (у - b)2 = r2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.
322. Графическое решение уравнений, неравенств, систем с параметром
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009
Литература
1. Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.
2. Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.
3. Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.
4. Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.
5. Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.
6. Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физикоматематическая литература. Москва 1977 г.
7. Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.
323. Графовые модели. Остов минимального веса
Курсовой проект пополнение в коллекции 09.12.2008

Кроме того, в Delphi имеются развитые средства для работы с графическими возможностями Windows. В стандартном графическом интерфейсе Windows основой для рисования служит дескриптор контекста устройства нос и связанные с ним шрифт, перо и кисть. В состав входят объектно-ориентированные надстройки над последними, назначением которых является удобный доступ к свойствам инструментов и прозрачная для пользователя обработка всех их изменений. Поэтому использование класса TCanvas, являющегося основой графической системы Delphi, позволяет выполнить одну из основных функций разрабатываемой программы наглядное представление графа. Delphi также дает возможность использовать традиционный набор функций работы с файлами, унаследованный от Turbo Pascal. Что позволяет сохранять результаты работы программы в файлы на жестком диске. Кроме того, в данной среде имеется возможность, наряду с обычными массивами, создавать динамические массивы, которые будут играть роль матрицы весов ребер графа. Хотя по большей части на представление графа в памяти машины выбор инструментальных средств особого значения не имеет.
324. Графы
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Хроматическим числом графа называется наименьшее количество красок, с помощью которых можно так раскрасить вершины графа, что любые две вершины, соединенные ребром, окрашиваются при этом в разные цвета. Долгое время математики не могли решить эту проблему: достаточно ли четырех красок, для того чтобы раскрасить произвольную графическую карту так, чтобы любые две стороны, имеющие общую границу, были окрашены разными красками? Если изобразить страны точками вершинами графа, соединив ребрами те вершины, для которых соответствующие им страны граничат , то задача сведется к следующей: верно ли, что хроматическое число любого графа, расположенного на плоскости, не больше четырех? Положительный ответ на этот вопрос был лишь недавно получен с помощью ЭВМ.
325. Графы и частично упорядоченные множества
Контрольная работа пополнение в коллекции 11.09.2010

Обе эти структуры являются частными случаями бинарных отношений. Пусть задано множество каких-то объектов и из этих объектов по какому-то определенному принципу формируются пары. Например, дано некоторое множество людей, а пары в нем выбираются по такому принципу: первый элемент пары - некий человек, а второй - один из его родителей. При этом один и тот же человек может присутствовать в двух и более парах, например, когда один и тот же человек имеет двоих, троих или более детей. Например, три пары в этом отношении (Иван, Мария), (Дарья, Мария), (Глеб, Мария) означают, что Иван, Дарья и Глеб - дети Марии. В качестве математического примера бинарного отношения можно привести пары, составленные из некоторого множества чисел, при этом первое число в каждой паре меньше второго. Это пример бинарного отношения "меньше". Другой пример: задана некоторая система множеств, а бинарное отношение в этой системе формируется из пар множеств по принципу: первое множество включено во второе множество - это пример бинарного отношения "включение множеств".
326. Графы. Решение практических задач с использованием графов (С++)
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Задача о четырех красках. Разбиение на плоскости на непересекающиеся области называется картой. Области на карте называются соседними, если они имеют общую границу. Задача состоит в раскрашивании карты таким образом, чтобы никакие две соседние области не были закрашены одним цветом (рис. 3). С конца позапрошлого века известна гипотеза, что для этого достаточно четырех красок. В 1976 году Аппель и Хейкен опубликовали решение задачи о четырех красках, которое базировалось на переборе вариантов с помощью компьютера. Решение этой задачи «программным путем» явилось прецедентом, породившим бурную дискуссию, которая отнюдь не закончена. Суть опубликованного решения состоит в том, чтобы перебрать большое, но конечное число (около 2000) типов потенциальных контрпримеров к теореме о четырех красках и показать, что ни один случай контрпримером не является. Этот перебор был выполнен программой примерно за тысячу часов работы суперкомпьютера. Проверить «вручную» полученное решение невозможно объем перебора выходит далеко за рамки человеческих возможностей. Многие математики ставят вопрос: можно ли считать такое «программное доказательство» действительным доказательством? Ведь в программе могут быть ошибки… Методы формального доказательства правильности программ не применимы к программам такой сложности, как обсуждаемая. Тестирование не может гарантировать отсутствие ошибок и в данном случае вообще невозможно. Таким образом, остается уповать на программистскую квалификацию авторов и верить, что они сделали все правильно.
327. Греческая математика эллинистического периода
Статья пополнение в коллекции 12.01.2009

В распоряжении Паппа (320 н.э.) была великолепная Александрийская библиотека. Он мог пользоваться всеми трудами величайших математиков и астрономов. Он был талантлив, трудолюбив и даже энтузиаст, но он должен был большей частью изучать письменные произведения и встречал там те же самые трудности, что встречали и мы. Борясь с этими трудностями и стремясь облегчить труд тех, кто будет читать после него, Папп писал обширные комментарии, как, например, его комментарий к Птоломееву «Альмагесту» и к десятой книге Евклида. А его огромный сборник так же состоит из обширных комментариев к классикам. Если Папп находил какое либо доказательство трудным или неполным, то он писал к нему пояснительную «лемму». Нередко Птоломей, или кто-нибудь другой из авторов, рассматривал лишь один из возможных вариантов; тогда Папп приводил подобные доказательства и для других случаев. Иногда получалось, например, что Аполлоний пользовался некоторым соотношением между отрезками, скажем, пропорциональностью или каким-нибудь соотношением между произведениями, не приводя доведенного до конца доказательства. Большей частью эти соотношения следовали из чертежа, получить их можно было имея навыки в преобразовании произведений или отношений. В таких случаях Папп обычно, не торопясь, шаг за шагом выводил эти соотношения их предложений, которые имеются у Евклида. Отсюда становится понятным, какого труда уже во времена Паппа стоило понимать вещи, которые при устной передаче были непосредственно ясны и просты.
328. Григорианский календарь
Доклад пополнение в коллекции 12.01.2009

В принципе, григорианский календарь является только слегка изменённой версией юлианского календаря. Решения же комиссии, созванной Григорием, свелись к тому, чтобы исключить оставшиеся 10 дней из 1582 года в порядке восстановления даты весеннего равноденствия (21 марта), но через несколько веков эта дата всё же регрессировала к 11 марта. Для того, чтобы обуздать смещение даты весеннего равноденствия, план, разработанный этой комиссией, предусматривал ликвидацию 3 дней в конце каждого столетия. Например, в 1700 году, 1800 или 1900гг. Также поступили и с високосным годом, который существовал до этого в юлианской системе. Эти поправки, обнародованные в папской булле от 24 февраля 1582 года, вызвали огромное количество споров и дебатов как между учёными, так и между простыми людьми. Образно говоря, весь их спор сводился к вопросу: а будут ли птицы знать, когда им лететь на юг, чтобы пережить зиму? Но всё это были споры, так сказать междоусобные, особо не афишировавшиеся. Лишь только «Всеобщая астрономическая библиография», изданная в 1887 году J.C.Houzeau и A.B.Lancaster, впервые высказала идею о чрезмерно большом количестве трактатов, написанных «за» и «против» реформы. Но план этой реформы, предложенной Григорием ХIII, был разработан отнюдь не им и даже не членами его комиссии, а простым университетским преподавателем, который, к несчастью, так и не узнал, что именно по его календарю будет жить весь мир. Его звали Луиджи Лилио (его фамилию также пишут как Джилио). Прежде чем календарь стал всемирно известным как григорианский, его также называли лилианским календарём. Именно Лилиус (латинский вариант его фамилии) предложил убрать 10 дней из того года, в котором будет принят календарь, или же сделать это только через 40 лет, начиная с 1584 года. 29-е же февраля будет добавлено в каждый четвёртый год в этом интервале. Лилиус работал над деталями реформы в течение 10 лет. Все его усилия были направлены на то, чтобы сделать календарь как можно более точным и удобным в использовании. Дальнейшие усовершенствования системы работали на улучшение приблизительной длинны тропического года. В день его смерти в 1576 году состоялась презентация самого главного труда всей его жизни. (Оригинальное его название «Новый план возвращения календаря».) Он был представлен его братом Антонио Лилио самому Григорию ХIII. Работа Лилиуса была восхвалена за свою точность и простоту, а её основа взята за образец для создания будущего календаря.
329. Группы преобразований
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Как уже отмечалось, можно выбрать такой ортонормированный базис, что перемещение f имеет вид = АR + v , где v - некоторый вектор. Если изменить начало координат : R = r + u , = + u , получаем: = Ar + , где = Au -u +v = (A - E)u + v .Мы видим, что если число 1 не является собственным значением матрицы А (или, если угодно, оператора f*) , то можно выбрать u так, что в новой системе координат = 0 . (Поскольку матрица A - E невырождена). Тем самым утверждение теоремы доказано при n=1 и при n=2 в случае det(A) = 1 (так как собственные значения суть exp(i) 1 при n ).
330. Группы симметрий квадрата и куба
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Она состоит из степеней одного порождающего ее элемента. Очевидно, r2 есть центральная симметрия z, r3 = r -1. Симметрия a (рис. 2) порождает подгруппу Z2 { a, a2 = e }. Две симметрии a и c, оси которых перпендикулярны (рис. 3) порождают нециклическую подгруппу из четырех элементов: двух осевых симметрий и одной центральной: { a, c, ac = z, a2 = e }. В силу того, что умножение двух симметрий дает поворот на удвоенный угол между осями, можно проверить, что правила умножения для этой группы таковы. Произведение любых двух симметрий равно третьей симметрии, а квадраты их равны тождественному преобразованию (табл. 1). Группу с такой таблицей умножения называют четверной группой Клейна (K4) (Феликс Клейн (1849 - 1925 гг.) - немецкий математик). Эта группа также как и циклическая (Z4) коммутативна.
331. Две замечательные теоремы планиметрии
Статья пополнение в коллекции 12.01.2009

Обратное утверждение удобно доказать методом “ от противного “: предположим, что имеет место равенство (*), но точки А1, B1 и С1 не лежат на одной прямой. Тогда прямая А1B1 пересекает прямую АВ в какой-то точке С2, отличной от точки С1. В силу прямой теоремы для С2 имеет место формула (*), откуда для отрезков АС2 и С2В имеет место равенство: в силу предположения, то же равенство выполняется и для отрезков АС1 и С1В:
332. Движение
Информация пополнение в коллекции 09.12.2008

Пусть у нас есть взаимно однозначное отображение f множества M на N. Тогда каждая точка X' множества N является образом только одной (единственной) точки X множества M. Поэтому каждой точке X' (N можно поставить в соответствие ту единственную точку X (M, образом которой при отображении f является точка X'. Тем самым мы определим отображение множества N на множество M, оно называется обратным для отображения f и обозначается f. Если отображение f имеет обратное, то оно называется обратимым.
333. Движение тел переменной массы
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Однако бывают случаи, когда движение некоторых частей составного тела можно описать сравнительно просто. Одним из таких случаев является случай движения тел переменной массы. Пусть имеется составная система и пусть в ней можно выделить некоторую часть, подсистему, движущуюся со скоростью v, причем состав ее меняется определенным образом. Будем называть эту подсистему телом переменной массы, если выполнены следующие условия. В каждый момент времени можно считать, что это тело либо является материальной точкой, либо все его части имеют одинаковую скорость v. С течением времени от тела непрерывно отделяются некоторые (бесконечно) малые его части, причем каждая со своей независимой скоростью v'; либо, наоборот, к телу непрерывно добавляются новые малые части, которые до «прилипания» имели свою скорость v' (возможно и то и другое). Таким образом, при движении тела меняется не только его скорость v = v(t), но и масса m = m(t), причем известна скорость изменения массы Случай <0 означает, что за промежуток времени t ? t + dt от тела отделяются какие-то части массой dm; случай Случай >0 означает, что за тот же промежуток времени к телу добавляются какие-то части массой dm. Примером первого случая являются ракета и поливальная машина, примером второго случая снежная лавина. Мы ограничимся ситуациями, когда все отделяющиеся или добавляющиеся части имеют в каждый момент времени одну и ту же скорость v' = v'(t), следовательно, одну и ту же скорость u = v' v относительно тела. Эту скорость u = u(t) называют относительной скоростью. Если она известна наряду с (например, в случае ракеты она определяется приготовлением, в случае снежной лавины v' = 0, стало быть, u = v), то говорят о движении тела переменной массы.
334. Двойное векторное произведение
Информация пополнение в коллекции 09.12.2008

Произведение (a×b)×c ортогонально вектору a×b, то есть в случае, когда векторы a и b не коллинеарны, лежит в плоскости векторов a и b. Следовательно, оно разлагается по векторам a и b, то есть существуют такие два числа x и y, что
335. Двойной интеграл
Доклад пополнение в коллекции 12.01.2009

где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
336. Двойной интеграл в механике и геометрии
Курсовой проект пополнение в коллекции 12.01.2009

Принимая объем V данного цилиндрического тела приближенно равным объему построенного n-ступенчатого тела, будем считать, что Vn тем точнее выражает V, чем больше n и чем меньше каждая из частичных областей. Переходя к пределу при мы будем требовать, чтобы не только площадь каждой частичной области стремилась к нулю, но чтобы стремились к нулю все ее размеры. Если назвать диаметром области наибольшее расстояние между точками ее границы (Например, диаметр прямоугольника равен его диагонали, диаметр эллипсаего большой оси. Для круга приведенное определение диаметра равносильно обычному.), то высказанное требование будет означать, что каждый из диаметров частичных областей должен стремиться к нулю; при этом сами области будут стягиваться в точку (Если известно только, что площадь области стремится к нулю, то эта область может и не стягиваться в точку. Например, площадь прямоугольника с постоянным основанием и высотой, стремящейся к нулю, стремится к нулю, а прямоугольник стягивается к своему основанию, т. е. к отрезку).
337. Двойной интеграл в полярных координатах
Информация пополнение в коллекции 09.12.2008

где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции
338. Двойные интегралы и дифференциальные уравнения второго порядка
Контрольная работа пополнение в коллекции 02.12.2010

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ). Решением ЛНДУ является сумма решений соответствующего однородного (ЛОДУ) и любого частного решения. Решаем ДУ: у''+y'-2=0. Характеристическое уравнение имеет корни k =-2 и k=1, поэтому общее решение однородного ДУ имеет вид: . Частное решение будем искать в виде: . Дважды дифференцируем последнее: . Подставляем в заданное ДУ и приравниваем коэффициенты:
339. Двойственный симплекс-метод и доказательство теоремы двойственности
Информация пополнение в коллекции 12.01.2009

Пусть необходимо решить исходную задачу линейного программирования, поставленную в общем виде: минимизировать функцию Z =СХ при АХ = A0, Х 0. Тогда в двойственной задаче необходимо максимизировать функцию f = YA0 при YA С. Допустим, что выбран такой базис D = (A1, А2, ..., Аi, ..., Аm), при котором хотя бы одна из компонент вектора Х = D-1 A0 = (x1, x2, ..., xi, ..., xm) отрицательная (например, xi < 0), но для всех векторов Aj выполняется соотношение Zj Cj 0 (i = 1,2, ..., n). Тогда на основании теоремы двойственности Y = Сбаз D-1 - план двойственной задачи. Этот план не оптимальный, так как, с одной стороны, при выбранном базисе X содержит отрицательную компоненту и не является планом исходной задачи, а с другой стороны, оценки оптимального плана двойственной задачи должны быть неотрицательными.
340. Двумерная кластеризая по предельному расстоянию. Дискретная математика
Курсовой проект пополнение в коллекции 25.11.2010

В данном курсовом проекте для построения минимального остовного дерева используется алгоритм Краскала. Рёбра графа упорядочиваются в порядке не убывания их весов и последовательно добавляются к графу. Если добавление нового ребра приведёт к образованию цикла, то это ребро пропускается. Подграф данного графа, содержащий все его вершины и найденное множество рёбер, является его остовным лесом минимального веса.

Blog

Математика и статистика