Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Міністерство освіти і науки України
Черкаський національний університет Імені Богдана Хмельницького
Кафедра математики та методики навчання математики
Кваліфікаційна робота з математики
Застосування сплайн-функцій до розвязування задач інтерполяції
Автор:
Вишемірська Тетяна Володимирівна
Четвертий курс, денна форма навчання, математичний факультет
Науковий керівник:
Доктор фізико-математичних наук, професор
Стеблянко Павло Олексійович
Черкаси 2010
Зміст
Вступ
- В-сплайни
- Базис із В-сплайнів
- В-сплайни нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків
- Лінійні В-сплайни
- Квадратичні В-сплайни
2. Кубічні В-сплайни
2.1Формули задання кубічних B-сплайнів
2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів
2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду
2.4.Апроксимація кубічними В-сплайнами
2.5 Практичність вивчення кубічних В-сплайнів у вищих навчальних закладах
3. Практична частина
3.1Задача №1
3.2Задача №2
Висновки
Список використаних джерел
Вступ
Сплайн-інтерполяція на сьогоднішній день є одним із найточніших методів наближення. В теорію наближень сплайни ввійшли зовсім недавно і відразу ж зайняли в ній досить важливе місце. Буквально протягом кількох років для сплайнів були розвязані апроксимаційні задачі, на розвязання яких для поліномів були потрачені десятиліття. З подальшим вивченням і застосуванням сплайн-функцій, знадобилося їх певне спрощення, для полегшення розрахунків. Саме тоді і зявилися В-сплайни, які як виявилося не тільки є простішими для обчислень, але й дають більшу точність наближення, що є дуже важливим при розвязуванні практичних задач.
Актуальність: Сьогодні сплайн-функції відіграють дуже важливу роль, вони входять в курс Чисельні методи, як додатковий метод інтерполяції, а також використовуються в курсі Рівняння математичної фізики для розвязування нерозвязних диференціальних рівнянь; з допомогою сплайнів і В-сплайнів (в основному кубічних) розвязуються (з великою точністю) ті задачі, які не можна розвязати іншими, відомими, методами.
В-сплайн це крива з неперервними старшими похідними до n-ої, де n порядок сплайна.
Мета курсової роботи: Розглянути кубічні В-сплайни, а також лінійні та квадратичні В-сплайни, форми їх запису та формули для розрахунків інтерполяційних задач, рекурентні формули для представлення В-сплайнів 1-го, 2-го, 3-го та вищих порядків. Зясувати практичність застосування Кубічних В-сплайнів у ВНЗ при розвязуванні задач інтерполяції. Застосувати на практиці отримані знання.
Для досягнення мети були поставлені такі завдання:
знайти і опрацювати літературу із даної теми;
систематизувати опрацьований матеріал;
отримати формули для розрахунків інтерполяційних задач;
- визначити практичність кубічних В-сплайнів в порівнянні з іншими сплайнами і В-сплайнами;
1 B-сплайни
1.1 Базис із В-сплайнів
Одним з найширше використовуваних представлень кривих в компютерному баченні є представлення у вигляді В-сплайну. Важливо розрізняти сплайни і В-сплайни. В-сплайни є поліноміальними функціями. Сплайни є лінійною комбінацією В-сплайнів. У літературі сплайни зазвичай визначаються як різні види степеневої функції. Для обчислень зручніше визначати сплайни рекурсивними функціями.
Приймемо без доведення наступну лему, яку буде використано для доведення важливої теореми:
Лема 1. Нехай - множина сплайнів порядку m дефекту 1 по розбиттю . Якщо і сплайн із задовольняє умови , то на .
Теорема 1. Система із В-сплайнів
, (1) порядку за розбитям з носіями є базисом в .
Доведення. Нехай
, ; (2) потрібно довести, що (). Безпосередньо із визначення В-сплайнів (1) виплива, що при ; але тоді з урахуванням (2)
, і в силу леми 1 для . Таким чином,
, .(3)
Оскільки на проміжку , а при , то із (3) слідує, що , так що
, .
Для при і при , а тому і
, .
Розмірковуючи аналогічно, далі прийдемо до рівності
що й треба було довести.
Наслідок 1. Будь-який сплайн із єдиним чином представляється у вигляді
, .(4)
Якщо сплайн із однозначно визначається деяким набором із інтерполяційних умов, то, підставляючи в ці умови замість суму (4), отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів . Усилу скінченності носіїв сплайнів в кожному рядочку визначника цієї системи, не дорівнюватимуть нулю лише елементів - значення сплайнів (або їх похідних) в одній із точок розбиття . При цьому не нульові елементи, які відповідають внутрішнім умовам інтерполяції, будуть розміщені вздовж головної діагоналі визначника. Саме це і забезпечує, принаймні для малих , простоту обчислення коефіцієнтів лінійної комбінації (4) [1].
1.2 В-сплайн нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків
В-сплайном нульового степеня, побудованим на числовій прямій по розбиттю , називається функція вигляду:
, (5)
Єдине обмеження полягає в тому, що