Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
>
(24)
Вираз для береться безпосередньо із (22)
(25)
Сплайн записується на основі другої рівності (22) шляхом формальної заміни на -1
(26)
І, нарешті із першого виразу (22), замінюючи на -2, отримаємо:
. (27)
Тоді остаточний варіант інтерполяційного виразу, основаного на застосуванні нормованих кубічних В-сплайнів, отримаємо шляхом підстановки виразів (24)-(27) в (23)
(28)
Вираз (28) дає четвертий порядок апроксимації функції по кроку h 0( h4 ) . Якщо в формулі (28) виключити коефіцієнти, виразивши їх через значення апроксимуючої функції у вузлах, то отримаємо:
, де (29)
(30)
Більш високий порядок апроксимації можна отримати за допомогою так званих напружених сплайнів, при цьому інтерполяційний вираз (29) зберігає свій вигляд, а функції, які входять до його складу задаються так:
, (31) де
; ; ;
; ; .
Інтерполяційний вираз виду (29) використовується, як для визначення шуканих величин між вузлами координатної сітки, так і для апроксимації частинних похідних, котрі входять до складу повної системи рівнянь [8].
2.5 Практичність вивчення кубічних В-сплайнів у вищих навчальних закладах
В-сплайни є більш практичні у використанні ніж природні сплайни, оскільки поліноміальні коефіцієнти природних сплайнів вимагають всіх вузлових точок. Їх обчислення залучає розвязання вимірних матриць. У цьому є два недоліки: переміщення однієї вузлової точки зачіпає всю криву і під час розвязування матриці можна зіткнутися з швидкою зміною кривої. З іншого боку, В-сплайни складаються з сегментів кривих, залежних тільки від кількох вузлових точок. Це називається локальним контролем. Таким чином, переміщення вузлової точки зачіпає тільки маленьку частину кривої. B-сплайни мають ту ж саму неперервність, як і природні сплайни, але не інтерполюють їх вузлові точки. Тому, ми говоримо про наближення багатокутника, а не про вставку вузлової точки.
Першим кроком є вибір порядку базису сплайнів, щоб досягати бажану гладкість і полегшити обчислювання.
Як найефективніші, були вибрані кубічні В-сплайни, тобто сплайни третього порядку, через наступні причини:
1. Поліноми нижніх степенів дають дуже низьку гнучкість в управлінні формою кривої. В-сплайни першого порядку (прямі лінії) не дають задовільної гладкості апроксимуючої кривої. В-сплайни другого порядку дають гладку криву, але проблема виникає в точках, де зєднуються сегменти кривої. Щоб зрозуміти цю проблему, ми введемо нове означення:
Означення. Позначимо сегмент кривої. Якщо напрям і величина і рівні в точці зєднання, крива, що складається з цих двох сегментів, називається неперервною.
В-сплайни другого порядку і неперервні, що не гарантує задовільну неперервність в обєднаних точках. Проблема вирішується, використовуючи кубічні В-сплайни, які є , і і неперервними.
2.Поліноми вищого степеня віднімають багато часу в обчислювальному процесі і можуть нести небажані скачки. Крива може "скакати" назад і вперед важко керованими способами.
3. Кажучи, що кубічні В-сплайни дають "задовільну" неперервність, мається на увазі, що око не може виявити геометричну неоднорідність степеня вище, ніж два і практично досить використовувати В-сплайни третього ступеня [9].
Отже, хоч кубічні В-сплайни і є методом, важчим у розрахунках, ніж інші, відомі методи, які застосовуються у задачах для наближення, але він дає набагато точніший результат, і є просто незамінним при розвязуванні задач, які неможливо розвязати іншими методами.
3. Практична частина
3.1 Задача №1
Потрібно інтерполювати (використовуючи задачу першого або другого роду) одну з відомих функцій, з допомогою кубічних В-сплайнів, у випадку рівномірної сітки розбиття.
Розвязання: Для розвязання цієї задачі візьмемо функцію і будемо її інтерполювати на відрізку , розбивши його на 6 рівних частин (). Маємо рівномірну сітку, отже будемо користуватися формулою (15). Знайдемо і (задача інтерполяції першого роду): ,
(15) Виключимо із системи (16) і : , , (32)
і отримаємо наступну систему:
, (33) де
, ,
, ,(34)
, .
Розвязавши систему (33), знайдемо коефіцієнти , для шуканого сплайна:
(де у нашому випадку ).
Отже необхідно знайти і підставити відповідні значення та розвязати матричне рівняння:
,
де - тридіагональна матриця, а - шуканий вектор коефіцієнтів.
Для нашої функції маємо наступні дані:
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,,
,.
Тоді три діагональна матриця і вектор відповідно дорівнюватимуть:
, ,
підставивши їх у матричне рівняння, отримаємо вектор :
,
,.
Отже, маємо інтерполяційний сплайн функції на проміжку :
Побудуємо його графік (в середовищі Matlab):
Мал. 4, 5 Графіки функції
На малюнку 4 зображено графік функції , а на малюнку 5 графік функції (зображено зеленим кольором), яка накладається на графік функції . Як бачимо наш інтерполяційний сплайн фактично повністю співпадає з і лише при великому збільшенні можна побачити розбіжності (малюнок 6 і 7), тобто має місце незначна похибка. Знайдемо її.
Мал. 6, 7 Розбіжності
Для цього будемо шукати максимальну похибку на кожном?/p>