Застосування сплайн-функцій до розв’язування задач інтерполяції
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
В-сплайни повинні відповідати умові:
Зокрема, якщо , то [2].
В-сплайн степеня , побудований на числовій прямій по розбиттю , визначається наступною рекурентною формулою:
, (6)
де , . (7)
При однаковій відстані між сусідніми вузлами В-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку неоднорідними. Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції [3].
Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є
, (8)
де , [3]. (9)
1.3 Лінійні B-сплайни
Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційованими.
Скориставшись рекурентною формулою (6), отримаємо формулу для лінійного В-сплайна:
(10)
Підставивши у (10) формулу (5) маємо:
(11)
Або у випадку рівномірної сітки з кроком () отримаємо:
(11)
Нижче на малюнку 1 представлено графік В-сплайна 1-го порядку:
Мал. 1 - Графік В-сплайна
1.4 Квадратичні B-сплайни
Із рекурентної формули (6), отримаємо наступну форму запису квадратичного В-сплайна:
(12)
Тепер ми можемо, або скористатись лише формулою (11), підставивши її у (12) отримаємо:
(13)
А у випадку рівномірної сітки з кроком h матимемо:
(13)
Або спершу в (12) підставимо (10) і, зробивши відповідні перетворення, отримаємо квадратичний В-сплайн в вигляді:
, (14)
а потім в (14) підставимо (5) і отримаємо ту ж саму формулу (13) [4].
Графік В-сплайна 2-го - - степеня представлено на малюнку 2:
Мал. 2 - Графік В-сплайна
В-сплайн довільного степеня може бути відмінним від нуля лише на деякому відрізку (визначеному вузлами) [4].
2 Кубічні B-сплайни
2.1 Формули задання кубічних B-сплайнів
Зробивши аналогічні дії, що й при квадратичному В-сплайні, ми отримаємо формулу (15) для кубічного В-сплайна:
Зауваження. Кубічні В-сплайни зручніше нумерувати так, щоб сплайн був відмінний від нуля на відрізку [5]. Запишемо тепер у випадку рівномірної сітки (з кроком ) його:
(15)
Типічний графік кубічного В-сплайну показано на мал. 3:
Мал. 3 - Типічний графік кубічного В-сплайну
2.2 Базис у просторі кубічних сплайнів
Функція :
а) двічі неперервно диференційовна на відрізку ;
б)відмінна від нуля тільки на чотирьох відрізках
Відрізок називають носієм функції [6].
Доповнимо розбиття допоміжними вузлами:
,взятими довільно.
За розширеною сіткою:
:можна побудувати сімю з кубічних В-сплайнів:
,
Ця сімя утворює базис в просторі кубічних сплайнів на відрізку . Тим самим довільний кубічний сплайн , побудований по розбиттю із вузла, може бути представлений на цьому відрізку в вигляді лінійної комбінації:
Умовами задачі коефіцієнти цього розбиття визначаються однозначно [7].
2.3 Задачі інтерполяції з граничними умовами першого та другого роду
У випадку коли задані значення функції в вузлах сітки і значення і першої похідної функції на кінцях сітки (задача інтерполяції з граничними умовами першого роду), коефіцієнти обчислюються із системи наступного вигляду:
, де (16)
Після виключення і отримується лінійна система з невідомими і 3-діагональною матрицею, яку можна розвязати, як методом Гауса, так і методом прогонки [8].
При розвязанні задачі інтерполяції другого роду використовують значення похідних другого порядку на кінцях сітки: і . І коефіцієнти вже обчислюються із системи:
(16)
таким самим чином, як і під час розвязування задачі інтерполяції першого роду.
2.4 Апроксимація кубічними В-сплайнами
Нехай задана таблиця чисел і , котрі є значеннями функції і її першої похідної у вузлах i, i =0,1, ..., N. Необхідна апроксимувати функцію W() з допомогою цих даних.
Розглянемо апроксимацію кубічними В-сплайнами. Конструкція нормованого
кубічного В-сплайна зазвичай задається так:
(17)
В правій частині (17) стоять многочлени третього степеня виду:
(18)
Коефіцієнти ai , bi , ci , di визначаються із системи чотирьох рівнянь, отриманих при умовах: и . В результаті її розвязку можна записати:
(19)
, ,
При конкретизації виразу (18) використовуються формули (19), що задовольняють умови стику у вузлах i-2, i-1, i , i+1 для сплайнів:
(20)
Та їх похідних по , позначених штрихом:
(21)
В роботі Б.Завялова [6] для рівномірної сітки i=0,1, ... , N, задовольняючи наступні умови (20), (21), отримано такий вираз для
Тут , а також зясовано, що S0=2/3, S*=1/6, S**=1/2h.
Загальний інтерполяційний вираз, в якому використовуються нормовані кубічні В-сплайни (22), записуються так:
, (23)
де , а . Коефіцієнти bi+1,bi+2 визначаються із умов, що задовольняють значення функції W(), відомих в деяких вузлах . Зазвичай вибирають , , а задовольняють нерівність: .
Запишемо (23) в розгорнутому вигляді. Для цього, використавши (22) отримаємо всі вирази для . Сплайн отримаємо із четвертої рівності (22), якщо там формально замінити на 1+ . Тоді