Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?х значениях параметра а квадратное уравнение имеет корни одного знака?
Решение. Так как по условию задачи рассматриваемое уравнение- квадратное, то а?1 (иначе формулировка задачи не имеет смысла). Очевидно, условие задачи предполагает также существование корней квадратного уравнения, что означает неотрицательность дискриминанта.
.
Так как по условию корни должны быть одинаковых знаков, то . Решением последнего неравенства является . С учетом условий D?0 () и а?1 получим .
Ответ. .
Пример 4. Сумма квадратов двух различных корней уравнения больше 10. Найти значения параметра а, при которых выполняется данное условие.
Решение. Уравнение имеет два различных корня, если дискриминант положителен и а?0.
D=16+12a.
Сумму квадратов корней данного уравнения выразим через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом:
Решаем систему:
- + -
2 a
.
- 0 2 а
Ответ. .
Пример 5. Найти все значения параметра p, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает наименьшее значение.
Решение. Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом: . Выражение принимает наименьшее значение при p=0.
Ответ. p=0.
Пример 6. Найти все значения параметра p, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения принимает значение, равное нулю.
Решение. Выразим сумму квадратов корней данного уравнения через его коэффициенты при помощи теоремы Виета следующим образом: . Поскольку сумма квадратов корней равна нулю, то решаем уравнение . Находим .
Ответ. .
.3 Задачи, в которых указан промежуток для решения
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет два корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3?
Решение. Так как идет речь о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть а?2.
Рассмотрим функцию (а?2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох один раз на интервале ( и один раз на интервале (3;.
Рассмотрим два случая: а>2 и а<2.
В первом случае получим следующую систему неравенств:
<a<5.
Во втором случае получим систему:
,
Которая не имеет решений.
Ответ: .
Пример 2. При каких значениях параметра а один из корней уравнения больше числа а ,а другой меньше числа а?
Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а корни квадратного трехчлена лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х=а?
Для решения этой задачи воспользуемся тем общим фактом, что для того, чтобы корни квадратного трехчлена лежали на вещественной оси по разные стороны от числа d, необходимо и достаточно выполнение условия .
линейный уравнение задача параметр
x1 d x2 x
В нашем случае это условие принимает вид . Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства , где требованию задачи не удовлетворяют).
Решая полученное неравенство, находим, что .
Ответ. .
Пример 3. При каких значениях параметра а корни х1 и х2 уравнения удовлетворяют условиям х1<-1 и -1<х2<1?
Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а только один, а именно- больший корень квадратного трехчлена , где 3а+2?0, принадлежит интервалу (-1;1), а другой меньше -1?
x1 -1 x2 1 x
Требования приведенной задачи выполняются только при условиях
.
Таким образом, в нашем случае приходим к рассмотрению системы
.
Решая эту систему, получаем, что .
Ответ. .
Пример 4. При каких значениях параметра а корни уравнения имеют разные знаки, и оба по абсолютной величине меньше 4?
Решение. Обозначим квадратный трехчлен в левой части исходного уравнения через f(x). Тогда требования задачи выполняются, если совместна система:
, которую подробнее можно переписать в виде , и которой удовлетворяют все .
Ответ. .
Пример 5. При каких значениях параметра а один из корней уравнения по абсолютной величине больше 1, а другой меньше 1?
Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а один из двух корней квадратного трехчлена f(x) принадлежит на вещественной оси интервалу (-1;1), а второй расположен вне этого интервала и по модулю не равен 1?
А тогда, замечая, что ровно один корень трехчлена f(x) принадлежит интервалу (-1;1) только в том случае, когда числа f(-1) и f(1) имеют разные знаки (корни по модулю не равны 1), приходим к выводу, что требование задачи выполняется только при условии f(-1)*f(1)<0, которое в нашем случае записывается в виде (.
Решая это неравенство, находим, что .
Ответ. .
Пример 6. Найти все значения m, при которых один из корней уравнения находится между числами 0 и 2, а второй между числами 3 и5.
Решение. Данное квадратное уравнение имеет корни . Очевидно, . Тогда искомые значения параметра найдем, решив систему:
Ответ. 1<m<3.
Пример 7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;1].
Решение. Данная функция возрастает на луче и убывает на луче , где - абсцисса вершины параболы. Этих соображений вполне достаточно для выяснения вопроса.
В данной задаче результат фактически зависит от положения абсциссы x0 относительно отрезка [-1;1