Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
чтобы было х1 >0 и х2>0, необходимо и достаточно выполнения неравенств
Отсюда а>5. Точно так же рассматриваются другие случаи.
Ответ. Если а0.
Ответ выглядит сложнее, чем решение задачи. Поэтому существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы ветвится в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа- это сбор ранее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.
Задачи третьего типа. Расположение корней квадратного трёхчлена.
Выделим прежде всего два наиболее распространённых вида задач, связанных с расположением корней квадратного трёхчлена.
вид. Задачи, в которых изучается расположение корней относительно заданной точки А. Возможны 3 случая, не считая случая отсутствия корней: оба корня меньше А; один корень меньше А, а другой больше А; оба корня больше А. Задачи первого типа без труда сводятся к проблеме, рассмотренной выше,- определению знаков корней квадратного трёхчлена. Это делается при помощи замены t= x-A, x= t+A,в результате которой трёхчлен относительно x переходит в трёхчлен относительно t. Знаки корней нового квадратного трёхчлена очевидным образом определяют расположение корней исходного квадратного трёхчлена относительно А. можно и не делать замены.
Пример 1. При каком значении параметра а один корень уравнения х2-(3а+2)х+2а-1=0 больше 1, а другой меньше 1?
Решение. Решение легко получается на основании следующего простого графического соображения. График функции у = х2-(3а+2)х+2а-1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось Х, причём отрезок должен содержать внутри себя точку 1.
Следовательно, значение квадратного трёхчлена х2-(3а+2)х+2а-1 при х=1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того. Чтобы выполнялись неравенства х1<1<х2.
Ответ. а>-2.
В общем случае для того, чтобы уравнение f(x)=ax2+bx+c=0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства а*f(A)<0. Не следует последнее условие заучивать. Необходимо понять принцип его получения и уметь провести необходимые рассуждения в конкретных задачах.
Пример 2. При каких значениях параметра а оба корня уравнения ах2-2(2а-1)х+2-3а=0 больше 1?
Решение. Для того чтобы оба корня уравнения f(x)= ах2-2(2а-1)х+2-3а=0 были больше 1, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
)D>0;
)а*f(1)>0;
)хв=
Необходимость первого условия очевидна. Второе неравенство означает, что знак f(x) при х=1 совпадает со знаком старшего коэффициента. Квадратные трёхчлены, удовлетворяющие первому и второму условиям, обладают тем свойством, что все они имеют два корня и оба эти корня либо меньше 1, либо больше 1.
Третье неравенство выделяет из них те трёхчлены, у которых оба корня больше 1. Оно означает, что вершина параболы расположена правее прямой х=1.
y
a>0 a>0
1 x
a<0 a<0
Система всех трёх неравенств даёт нам необходимое и достаточное условие для того, чтобы оба корня данного уравнения были больше 1. Второе неравенство даёт а(4-6а)>0. 01. Таким образом, нам нет необходимости решать первое неравенство, поскольку уже решённые неравенства несовместимы.
Ответ. Ни при каких.
вид. Задачи, в которых исследуется расположение корней квадратного трёхчлена относительно заданного отрезка здесь можно выделить 6 возможных случаев расположения корней (оба меньше А; один меньше А, другой на отрезкеи так далее). Если же отдельно рассматривать ситуацию, когда D=0, то добавятся ещё 3 случая. Мы вновь не будем заниматься построением общей теории, а рассмотрим конкретные примеры.
Пример 1. При каких значениях параметра а все решения уравнения (а-1)х2-(а+1)х+а=0 удовлетворяют условию 0<х<3?
Решение. Обозначим f(x)= (а-1)х2-(а+1)х+а. Необходимым и достаточным условием для того, чтобы f(x) (если а?1) имела все свои корни внутри отрезка , будет выполнение системы неравенств:
) D?0
) (а-1)f(0)>0
) (а-1)f(3)>0
) 0<хв<3, где хв=.
Оба неравенства 2) и3) выполняются при а> или а или а<-1.
Значит система неравенств 2), 3), 4) имеет решение а> или а или а<-1, то <а?. Отдельно рассматривается случай а=1.
Ответ. <а? , а=1.
Если бы в условии требовалось, чтобы оба корня располагались на заданном отрезке, то есть указывалось на наличие двух различных корней, то правое нестрогое неравенство ответа следовало бы заменить на строгое и исключить случай а=1.
Пример 2. Определить, как расположены корни уравнения ax2-3(a+1)x+2a+7=0 относительно отрезка [-1;4].
Решение. Решим эту задачу несколько иначе, способом, который можно назвать обобщенным методом интервалов. Сначала определим, где обращается в ноль дискриминант уравнения. Имеем 9(a+1)2-4a(2a+7)=0, a2-10a+9=0, a1=1, a2=9.
При 1<а<9 корней у данного уравнения нет. Обозначив, как обычно, левую часть уравнения через f(x), найдем f(-1)=6a+10, f(4)=6a-5. Как видно, f(-1) и f(4) мен