Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
? а?, то х=.
Ответ. Если а=1, то корней нет; если а=-1, то хR; если а?, то х=.
Пример 10. Решить уравнение (n2-5)x+n=n(n-4x).
Решение. (n2-5)x+4nх=n2-n.
x(n2+4n-5)=n2-n.
Если n2+4n-5=0, то D=16+20=36. n1=1; n2=-5.
Если n=1, то х*0=0, то есть хR.
Если n=-5, то х*0=30, то есть корней нет.
Если n?1 и n?-5, то х=.
Ответ. Если n=1, то хR; если n=-5, то корней нет; если n?1 и n?-5, то х=.
Пример 11. Решить уравнение х+=2.
Решение. х(1+)=2.
Если а=0, то х.
Если а?0, то х=.
Если а=-1, то корней нет.
Ответ. Если а?0 и а?-1, х=; в остальных случаях корней нет.
Пример 12. Решить уравнение .
Решение. Если х=1, то нет решений. Следовательно, х=a- единственный корень при а?1.
Ответ. Если а?1, то х=а; если а=1, то нет решений.
Пример 13. Решить уравнение .
Решение. Если а=2, то уравнение корней не имеет. Если а?2, то х=а.
Ответ. Если а=2, то корней нет; если а?2, то х=а.
Пример 14. Решить уравнение .
Решение. Если с=0, то корней нет.
Если с?0, то .
.
.
.
.
.
Ответ. Если с=0, то корней нет; если с?0, то х=с+4.
Пример 15. Решить уравнение 4=а-(bx-1).
Решение. 4=а-bx+1.
bx=a-3.
Если b=0 и а=3, то хR.
Если b=0 и а?3, то корней нет.
Если b?0 и а?3, то х=.
Если b?0 и а=3, то х=0.
Ответ. Если b=0 и а=3, то хR; если b=0 и а?3, то корней нет; если b?0 и а=3, то х=0; если b?0 и а?3, то х=.
.3 Решение линейных уравнений с параметрами с дополнительными данными в условии задачи
Пример 1. При каких значениях параметра с корень уравнения х+с=3х-5 является неотрицательным числом?
Решение. х-3х=-с-5.
х=-с-5.
х=с+5.
х?0 при с+5?0.
с?-5.
Ответ. при с?-5.
Пример 2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых число -3 является единственным корнем уравнения а2х+6а=4х-12.
Решение. х(а2-4)=-6а-12.
Если а=2, то х*0=-24, то есть корней нет.
Если а=-2, то х*0=0, то есть хR.
Если а?2, то - единственный корень.
Х=-3.
а2+6а+24=0|(-3).
а2-2а-8=0.
D=4+32=36.
a1=4; a2=-2.
- не удовлетворяет условию.
Ответ. а=4.
Пример 3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнения ах-5=х+а и а2х-3=х+а2 имеют общий корень.
Решение. (а-1)х=а+5. Уравнение имеет корень лишь при а?1. .
(а2-1)х=а2+3. Данное уравнение имеет корень лишь при а?1. .
Осталось найти все значения параметра а?1, при каждом из которых оба уравнения имеют общий корень, то есть х1 и х2 есть одно и то же число.
.
.
.
. При .
Пример 4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнения ах+1=2х+а и а2х-1=4х+а2 имеют общий корень.
Решение. ах+1=2х+а.
х(а-2)=а-1. Уравнение имеет корень лишь при а?2.
.
.
. Уравнение имеет корень лишь при а?2.
.
Уравнения имеют общий корень при .
.
.
.
.
.
Ответ. при .
Пример 5. При каких целых значениях параметра а корень уравнения лежит в промежутке [0;5]?
Решение. очевидно, при а?5 уравнение имеет корень . Найдем значения а, при которых корень уравнения лежит в промежутке [0;5]. Для этого решим двойное неравенство 0.
В этом отрезке находятся только два целых числа: 3 и 4, они и будут решением задачи.
Ответ. a=3, a=4.
.4 Тренировочные упражнения
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.3ax-4(2+x)=6
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.При каком значении а прямые 5х-3y=15 и ах+7y=-6 пересекаются в точке, принадлежащей оси абсцисс?
.Графики функций y=(4-a)x+a и y=ax+2 пересекаются в точке с абсциссой, равной -2. Найдите ординату точки пересечения.
.5 Графическая иллюстрация решения уравнений с параметрами
Как уже было отмечено, у учащихся возникают трудности на этапе систематизации полученных результатов, в том числе и при записи ответов. С целью её преодоления используется прием получения результата с одновременным изображением его на координатной плоскости. Рассмотрим суть данного приема на конкретных задачах.
Пример 1. При каждом значении а и b решите уравнение:
Паре чисел (а; b) соответствует вполне определенное частное уравнение. Упорядоченную пару чисел (а; b) мы будем интегрировать как точку на координатной плоскости с осями а и b. Таким образом, устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и всеми частными уравнениями, определенными парой (а; b). Следовательно, получили аналог развертки по параметру - плоскость параметров, позволяющую наглядно представить множество значений параметров и соответствующие им решения уравнения.
При b=a правая часть уравнения не имеет смысла, следовательно, уравнение не имеет решений.
Отметим на плоскости параметров те ее точки, координаты (а;b) которых не являются допустимыми значениями параметров данного уравнения. То есть всем точкам прямых b=a соответствуют частные уравнения, не имеющие решений.
Примечание: в скобках будем указывать решения, соответствующие данным точкам плоскости.
b
b=-a b=a
(решений нет) (решений нет)
0 a
При условии x?0 и b?a исходное уравнение равносильно уравнению .