Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
значений параметра {a|a(2;3]}. Соответствующие частные уравнения 2(а-2)х2=0 имеют двукратный корень х=0.
Пусть а(3;), тогда f(a)=2(a-2)?0? D=4(а-3)2>0 и исходное уравнение имеет два различных корня х=0 и х=.
Ответ:
Замечание. Рассмотрим исходное уравнение как уравнение с переменными а и х. изображение множества его решений в системе координат Оах имеет следующий вид:
Y
x=
x=
-3 0 2 3 a
x=
x=
В уравнении f(a;b)x2+g(a;b)x+h(a;b)=0 не выше второй степени с параметрами а и b и переменной х всякое частное уравнение принадлежит одному из вышеперечисленных типов с аналогичными характеристиками. Контрольные значения параметров определяются уравнениями f(a;b)=0 и D=g(a;b)2-4f(a;b)h(a;b)=0. В плоскости Оаb эти уравнения выделяют области, на которых дискриминант D имеет определенный знак. Тогда общая схема решения уравнений с двумя параметрами не меняется, лишь вместо числовой прямой используется координатная плоскость Оаb. Графическое изображение линий контрольных значений параметров и выделенных ими областей однотипности обеспечивает наглядность в выполнении каждого из этапов решения.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Частные уравнения не определены для всех значений параметров a и b, для которых a-b=0, то есть на множестве {(a;b)|a=b}. На области допустимых значений параметров {(a;b)|a?b} исходное уравнение равносильно уравнению (2-ab)x2-2(a-b)x+2=0. Контрольными являются значения параметров, для которых 2-ab=0. На множестве точек {(a;b)|b=a,ab=2} гиперболы ab=2, исключая точки (-) и (), соответствующие частные уравнения -2(a-b)x+2=0 имеют общее решение х=.
b
a
Для значений параметров {(a;b)|a?b,ab?2} соответствующие частные уравнения являются квадратными. Дискриминант D=4(a-6)2-8(2-ab)=4(a2+b2-4) обращается в нуль на множестве контрольных точек {(a;b)|a?b, a2+b2-4=0} окружности a2+b2=4, снова исключая точки(-) и ().
На множестве {(a;b)|a?b, a2+b2=4} точек окружности соответствующие частные уравнения (2-ab)(x-)2=0 имеют двукратный корень .
Для допустимых значений параметров, отличных от точек гиперболы и окружности, дискриминант соответствующих квадратных уравнений отличен от нуля. На множестве {(a;b)|a?b, a2+b20, и общие решения уравнения х=.
Ответ.
Пример 4. Решить уравнение =0.
Решение. Для значений параметров {(a;b)|a2+b2-4?0}соответствующие частные уравнения не определены.
На области допустимых значений параметров {(a;b)|a2+b2-4>0} выделим подмножество {(a;b)|a2+b2-4>0,b=0} точек прямой Оа, исключая точки круга. Соответствующие частные уравнения имеют вид 2|a|х+. Их общее решение х=.
На множестве точек {(a;b)|a2+b2-4>0,b?0} частные уравнения имеют вторую степень. Их дискриминант D=4(|a2-b|+a2-b). По определению модуля D=.
Для точек {(a;b)|a2+b2-4>0,b?0, b?a2} не ниже параболы, исключая точки круга и прямой b=0, соответствующие не особые частные уравнения имеют вид 2=0.
Тогда х= является двукратным корнем на множестве {(a;b)|a2+b2-4>0,b?0, b?a2}.
Все частные уравнения для значений параметров {(a;b)|a2+b2>4, b?0, b0. Общие решения уравнения на данном множестве значений параметров имеют вид x=.
b
-2 2 a
Ответ. ; ; .
Формулировки многих заданий помимо решения уравнения f(a)x2+g(a)x+h(a)=0 ставят задачи поиска значений параметров, для которых его общие решения f1(a)= и f2(a)= удовлетворяют одному из следующих условий:
)оба или положительны, или отрицательны, или имеют различные знаки;
)располагаются внутри некоторого промежутка () или вне его;
)располагаются определенным образом относительно корней другого уравнения.
В таких формулировках присутствует некоторое действительное число и требуется найти значения параметра, обеспечивающие для общих решений х1=f1(a), x2=f2(a) одно из требований а)-в).
а) б) в)
х1 х2 х1 х2 х1 х2
В первом случае таким числом является ноль, во втором- числа, в третьем - один из корней другого уравнения. Простой способ решения таких задач основан на справедливости следующих результатов о расположении действительного числа относительно корней f1(a) и f2(a) многочлена F(a;x)= f(a)x2+g(a)x+h(a) с параметром а и переменной х.
.На множестве {a|f(a)?0,D>0} для общих решений f1(a) и f2(a) многочлена F(a;x)= f(a)x2+g(a)x+h(a) число удовлетворяет условию f1(a)<<f2(a) (или f2(a)<< f1(a)) для тех и только тех значений параметра, для которых f(a)F(a;)<