Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
>Обозначим cos2 x = t, 0 t 1, тогда уравнение примет вид(t) = t2 + 6t + (5 ? a) = 0.
Условия задачи будут выполнены, если последнее уравнение будет иметь хотя бы один корень из отрезка [0; 1] (в отличие от задачи 6.1,где корень мог быть любым числом). В данном случае исследование только дискриминанта недостаточно. Ветви параболы направлены вверх, вершина находится в точке tв = ?3, следовательно, на отрезке [0; 1] функция f(t) монотонно возрастает. Для того, чтобы на [0; 1] существовал корень, в силу непрерывности необходимо и достаточно, чтобы на концах отрезка f(t) имела разные знаки f(0) f(1)0 или (5?a)(1+6+5?a)0. Решая последнее неравенство, получаем
Ответ: a ? [5; 12].
Пример 3. Решить уравнение относительно a.
Решение. Уравнение квадратное относительно , следовательно, оно равносильно совокупности двух уравнений: и . Отсюда получим два множества корней: .
Ответ: .
Пример 4. Решить уравнение относительно a.
Решение. Приведем уравнение к виду .
При получим: или .
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: имеющему множество решений , и , равносильному уравнению , имеющему множество корней .
При получим уравнение равносильное исходному: , имеющее два решения относительно tg(0,5x): , при , то есть при |a|?1.
Итак, при уравнение имеет два множества корней: и ; при -1?a?1 ( ; при |a|>1 решений нет.
Ответ: при и ; при -1?a?1 ( ; при |a|>1 решений нет.
Пример 5. Найти все значения параметра a, при которых уравнение?a (2 ? cos x + sin )= 2 имеет решение.
Решение. Область допустимых значений параметра определяется системой
, откуда a ? (??; 0) ? (0; 1).
По свойствам логарифмической функции перепишем уравнение в виде 2 ? cos x + sin = (1 ? a)2.
Заменяя cos x = 1 ? 2 sin2 и полагая t = sin , получаем квадратное уравнение: 2t2 + t + 2a ? a2 = 0.
Это уравнение имеет решения, если D = 8a2?16a+1 0, откуда с учетом ОДЗ получаем? (??; 0) ? (0; 1 ?].
Найдем теперь, при каких значениях параметра a хотя бы один из корней этого уравнения будет принадлежать отрезку [?1; 1]. Так как ветви параболы f(t) = 2t2 + t + 2a ? a2 направлены вверх, вершина находится в точке tв =?, то корни располагаются симметрично относительно точки t=?. Поэтому, если меньший корень лежит в промежутке [?1; 1], то больший - тем более. Таким образом, достаточно выяснить, при каких значениях параметра a больший корень параболы окажется в промежутке []. Это будет в том и только в том случае, если f(1)0. Вычисляя f(1),
получаем неравенство 3+2a?a2 0, которое справедливо при a ? [?1; 3]. Пересекая этот промежуток с предыдущим, получаем
Ответ: a ? [?1; 0 ) ?(0; 1 ?]
Пример 6. В зависимости от значений параметра a решите уравнение
Решение. Полагая t = sin x, приведем уравнение к виду
? 5at + 6a ? 1 = 0.
Если a = 0, то решений нет.
При a 0 и при условии a ? (??;?4] ? (0;+?) получаем корни уравнения t1,2 = . Так как вершина параболы f(t) = at2 ? 5at + 6a ? 1 находится в точке tв = ,
условие |t| 1 для меньшего из корней будет выполняться, если на концах отрезка [?1; 1] функция будет иметь разные знаки: f(?1)f(1) 0 или (2a?1)(12a?1) 0. Решением последнего неравенства является интервал a ? .
Ответ: Если a?: x=(?1)n arcsin , n?Z, при других a решений нет.
Пример 7. Решите уравнение
относительно m.
Решение. уравнение имеет смысл при m?0. Значение х должно удовлетворять условию cos2x?0, tg2x?. Разделив числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части уравнения, на, а первой дроби правой части на , получим уравнение .
Пусть . Несложные преобразования приводят к уравнению , имеющему два корня: .
Выше было отмечено, что значения х должны удовлетворять условию tg2x?. Значит, необходимо исключить те значения m, при которых и равны 0,5.
. При этом .
. При этом .
Ответ: при ; при; при , , уравнение имеет два множества корней: .
Задачи для самостоятельного решения
. В зависимости от значений параметра a решите уравнение cos4 x ? (a + 2) cos2x ? a ? 3 = 0.
. В зависимости от значений параметра a решите уравнение sin4 x+cos4x+sin2x +a= 0.
. При каких значениях параметра a уравнение(a2+8a+16)(2?2cos x?sin2 x)+(32+2a2+16a)(cos x?1)+3a+10=0 не имеет решений?
. При каких значениях параметра a уравнение loga?2 имеет решение?
. При каких значениях параметра a уравнение loga+1 имеет решение?
. При каких значениях параметра a значение выражения 2+cos x(3 cos x+a sin x) не равно нулю ни при каких значениях x?
. При каких значениях параметра a значение выражения 3+sin x (2 sin x+a cos x) будет равно ?1 хотя бы при одном значении x?
. При каких значениях параметра a сумма loga(sin x + 2) и loga(sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении x?
. При каких значениях параметра a уравнение(a + 1) tg2 x - 2 не имеет решений?
.4 Примеры решения показательных и логарифмических уравнений с параметрами
Пример 1. При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения
2 log4(2x2?x+2a?4a2)+log0,5(x2+ax?2a2) = 0 больше 1?
Решение. На основании свойств логарифмов исходное уравнение равносильно уравнению
2(2x2 ? x + 2a ? 4a2) = log2(x2 + ax ? 2a2),
которое, в свою очередь, равносильно системе
Уравнение записанной системы имеет корни x1= 1?a и x2= 2a.
Подставляя поочередно полученные значения x в неравенство системы, получим систему , из которой находим, что a ? (?1; 0) ? (0;
Учитывая теперь, что , из неравенства 5a2 ? 2a + 1 > 1 получаем значения a ? (??; 0) ?..
Ответ: a ? (?1; 0) ?.
Пример 2. При каких значениях параметра a уравнение
имеет по крайней мере два корня, один из которых неотрицателен, а другой не больше ?1?
Реше?/p>