Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
?сительно прямой y=t, и точки пересечения парабол лежат на этой прямой. Построим графики (I) и (II) при a=0 (рис.3). Очевидно, что уравнение имеет два корня t1=0 и t2=1.
y y y
y=t2
y=t
y= y=t2-3a y=
t1 t2 t t1 t t
рис.3 рис.4 рис.5
Если теперь увеличить значение a, то часть параболы (I) сдвинется влево, а часть параболы (II)- вниз (рис.4). Уравнение по-прежнему имеет положительное решение, но оно, очевидно, больше единицы. Если же сделать значение a немного меньше нуля, то часть параболы (I) сдвинется вправо, а часть параболы (II) сдвинется вверх, и точки их пересечения начнут сближаться, причем 0<t1<t2<1. При некотором значении a=a0 достигается крайнее положение, при котором кривые еще имеют общую точку, лежащую на прямой y=t (рис.5).
Решим уравнение t2-3a=t, то есть t2-t-3a=0. Найдем дискриминант D=1+12a, он не отрицателен при . При уравнение имеет единственный корень, а при все точки на параболе y= лежат выше прямой y=t.
Ответ. .
Пример 5. Найти наименьшее значение выражения a2+(b-1)2 среди тех a и b, для которых уравнение ||x-4|-2|-ax+4a-b=0 имеет ровно три различных решения. Указать, при каких a и b достигается наименьшее значение.
Решение. Сделаем замену z=x-4 и преобразуем уравнение к виду ||z|-2|=az+b. Построим график функции y=||z|-2| и y= az+b.
y y
y= az+b
y=||z|-2|
2b b
z
-2 0 2 z
Очевидно, эти графики могут пересекаться ровно в трех точках только в следующих случаях:
1) y 2) y 3) y
2b
z z z
В случае 1) будет b=2, -1<a<1, в случае 2) будет =-2, 0<a<1, в случае 3) будет =2, -1<a<0. В случае 1) подстановка значения b=2 в выражение a2+(b-1)2 дает выражение a2+1, минимум которого равен 1 при значении a=0. В случае 2) будет b=2a; подставляя это значение в выражение a2+(b-1)2 имеем a2+(2a-1)2=5a2-4a+1; минимум достигается при и равен (). В случае 3) будет b=-2a, и подставляя это значение в выражение a2+(b-1)2, получаем a2+(-2a-1)2=5a2+4a+1; минимум достигается при и равен ().
Ответ. .
.6 Иррациональные квадратные уравнения с параметром
Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение .
Решение. .
Ответ. при ; при решений нет.
Пример 2. Выясните при каких значениях параметра а уравнение не имеет решений.
Решение. Уравнение не имеет решения при или .
.
D=
.
.
.
.
Ответ. Уравнение не имеет решения при и .
Пример 3. Для каждого значения а решить уравнение .
Решение. .
Пусть х=0.
Пусть х>0.
,
но 2х>0, следовательно, х не может быть.
Пусть х<0.
, 2x<0,
следовательно, х<0 не может быть.
Ответ. х=0 при , при а<0 решений нет.
Пример 4. Для каждого значения а определить число решений уравнения .
Решение. 1)
)
при всех а.
при всех а.
При а=1 одно решение; при а>1 нет решений, так как ; при а<1 два решения.
.
при всех а.
при всех а, кроме а=0.
При а=0 и а=1 одно решение; при а а>1 нет решений; при 0< а<1 два решения.
Ответ.
Пример 5. Найти все значения а, удовлетворяющие условию -1<а<1, при которых выражение принимает минимальное значение точно для одной пары (x;y).
Решение. Выражение минимально, когда . Решим это уравнение относительно х.
,
но х должен быть единственным. Следовательно, .
.
Из условия .
Чтобы y был единственным, соответствующая парабола должна снизу касаться оси Ох.
.
Ответ. .
Пример 6. Число а подобрано так, что уравнение имеет решение. Найти это решение и значение а.
Решение.
.
.
.
.
Ответ. , .
.3 Примеры решения тригонометрических уравнений с параметрами
Пример 1. При каких значениях параметра a значение выражения 1+cos x (5 cos x+a sin x) будет равно нулю хотя бы при одном значении x?
Решение. Уравнение 1+cos x (5 cos x+a sin x) = 0 после преобразований приводится к однородному sin2 x + a sin x cos x + 6 cos2 x = 0, которое после деления на cos 2 x и замены t = tg x превращается в квадратное: t2 +at+6 = 0. Так как t = tg x может принимать любые значения, это уравнение будет иметь решения при условии
0 или D = a2 ? 240.
Ответ: a ? (??;?2] ? [ 2;+?).
Пример 2. При каких значениях параметра a сумма loga (cos2 x+1) и loga(cos2 x+5) будет равна единице хотя бы при одном значении x?
Решение. Допустимыми значениями параметра являются все a > 0, a 1.
Из уравнения loga(cos2 x+1)+loga(cos2 x+5) = 1 получим, что (cos2 x + 1)(cos2 x + 5) = a.