Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
такие примеры можно предложить после вводных уроков.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Это уравнение опирается на знание определения модуля. Так, . Следовательно, a?0.
Ответ. а?0.
Пример 2. Решите уравнение .
Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:
Ответ. Если а=-2, то х=2; если а?-2, то решений нет.
Пример 3. Решите уравнение .
Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:
Ответ. Если а=0, то х=-2; если а?0, то решений нет.
Пример 4. Решите уравнение .
Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:
Ответ. Если а=0, то х=-2; если а?0, то решений нет.
Пример 5. Решите уравнение .
Решение. Так как каждое слагаемое неотрицательное, то можно перейти к системе:
Ответ. Если а=0, то х=3; если а?0, то решений нет.
Пример 6. Решите уравнение .
Решение. Так как и при всех значениях х, то их сумма может оказаться равной нулю лишь при условии, что оба слагаемых равны нулю:
Рассмотрим два случая:
1). Тогда решением совокупности является при всех значениях b.
2). Тогда первая система совокупности не имеет решений, а вторая система имеет решение лишь при b=1. Следовательно, при b=1 уравнение имеет единственное решение , при b?1 не имеет решений.
Ответ: при и b?1 нет решений, в остальных случаях (то есть при или b=1) уравнение имеет единственное решение .
Глядя на правильный ответ, можно предложить учащимся решение-рассуждение, не требующее никаких выкладок: сумма двух модулей может оказаться равной нулю лишь в том случае, если оба слагаемых равны нулю. Второе слагаемое определяет единственный возможный корень , а первое равно нулю лишь в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю: либо , либо b=x, что при единственном возможном решении x=1 эквивалентно условию b=1. Во всех остальных случаях уравнение не имеет корней.
Пример 7. Решить уравнение .
Решение. При второе уравнение системы, а значит, и сама система имеет единственное решение x=1. Если же a=0, то из второго уравнения получаем x - любое. Следовательно, в этом случае система имеет два решения: x=1 или x=-1.
Ответ. если , то , если a=0, то x=1.
.7 Линейные уравнения с параметром, содержащие квадратные корни
Обратим внимание, что во всех решенных примерах областью допустимых значений как для переменной, так и для параметра являлось все множество действительных чисел. Разумеется, следует познакомиться с задачами иного рода.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. легко увидеть, что x=a - единственный корень данного уравнения. Однако, этот результат - еще не ответ. специфика уравнений с параметрами предполагает даже в таком тривиальном уравнении, как x-a=0, отмечать, что x=a - корень при любом a.
Ответ. Если a?0, то x=a, если a<0, то нет решений.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. .
Отсюда x=a - корень исходного уравнения при любом a, а x=1 - корень лишь при a?1.
Ответ. Если a1, то x=a.
Пример 3. Выясните, при каких значениях параметра a данные уравнения имеют ровно один корень:
а) ;
б) .
а) .
Решение.
Отсюда x=5 - корень исходного уравнения при любом a?5.
Ответ. x=5 при a?5 - единственный корень.
б) .
Решение.
Отсюда , если a>0. И x=-2a, если a<0. Уравнение имеет единственный корень лишь при а<0.
Ответ. При а<0 x=-2a - единственный корень.
Пример 4. При каких а уравнение имеет единственное решение?
Решение. При любом а x=1 - корень данного уравнения, и требование единственности решения сводит задачу к поиску условий, при которых уравнению запрещено иметь корни, отличные от единицы. В то же время множитель x-a как бы предлагает еще один корень, и, на первый взгляд, значение a=1 представляется достаточным для ответа. Но более внимательный анализ позволяет отмести x=a за счет области определения уравнения: при a<0 x=a не является корнем.
Ответ. a=1 или a<0.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение.
Если a=1, то корней нет.
Ответ. Если a?1, то x=a, если a=1, то корней нет.
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. x=0 или x-a=0. Откуда x=a. Причем, x-a?0. Следовательно, x?a.
Ответ. Если ax, то решений нет.
Пример 7. Решить уравнение .
Решение. .
Ответ. Если
Пример 8. Решить уравнение .
Решение. Сумма двух корней может оказаться равной нулю лишь в том случае, если оба слагаемых равны нулю.
.
Ответ. Если a=0, то x=0, если a?0, то решений нет.
Пример 9. Решить уравнение .
Решение. . Следовательно, .
.
Ответ. Если a=0, то x=1, если a?0, то решений нет.
.2 Классификация задач на решение квадратных уравнений с параметром
Выделим класс задач, где за счет параметра на переменную накладываются какие- либо искусственные ограничения. Для таких задач характерны следующие формулировки: при каком значении параметра уравнение имеет одно решение, два, бесконечно много, ни одного; решением уравнения является какое-то подмножество множества действительных чисел и другие.
Прежде всего сюда относятся уравнения второй степени. Поэтому, прежде всего, обратим внимание на распространенную ошибку: считать такое уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Пользуясь этим соображением, е