Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
/p>
z1 y1 0 y2 z2
x
Получить правильный ответ в данном примере можно было бы несколько проще, хотя и менее законно. Из соображений непрерывности следует, что на каждом из трех интервалов имеет место один и тот же порядок следования корней (граничными точками такого рода интервалов являются: запрещенные значения параметра, в данном случае а=0; нули дискриминантов- точки а=- и а= - и значения параметра, при которых уравнения имеют один и тот же корень а=-3; в общем случае сюда надо добавить значения параметра, при которых обращается в ноль коэффициент при х2). Для выявления этого порядка следования достаточно рассмотреть какое-либо значение параметра а из соответствующего интервала. В нашем случае для крайних интервалов можно взять даже их концы: а=- и а= , а для среднего, например, а=-1.
.5 Общая классификация задач по их типу
Так как уравнения с параметрами не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий, определим их общую структуру и выделим основные их типы. Их общий вид определяется многочленом F(a;x)=f(a)x2+g(a)x+h(a) с параметром а или многочленом F(a;b;x)=f(a;b)x2+g(a;b)x+h(a;b) с параметрами а и b не выше второй степени.
Отметим, что наиболее важными в практике являются следующие задачи:
)Решить уравнение (неравенство) с параметрами;
)Найти значение параметров, при которых общее решение уравнения (неравенства) обладает некоторыми свойствами.
В уравнении f(a)x2+g(a)x+h(a)=0 не выше второй степени с параметром а и переменной х всякое частное уравнение принадлежит одному из следующих типов:
;
);
;
;
;
;
Контрольные значения параметра определяются уравнением f(a)=0 и уравнением D=0. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант D имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов.
Тогда решение всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:
)На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.
)На области допустимых значений параметра исходное уравнение при помощи равносильных преобразований приводится к виду f(a)x2+g(a)x+h(a)=0.
)Выделяется множество контрольных значений параметра, для которых f(a)=0.
Если уравнение f(a)=0 имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно. Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам.
На бесконечном множестве решений уравнения f(a)=0 проводится решение уравнения g(a)=0, выделяются типы и особых частных уравнений. Множеству {a\f(a)=0,g(a)0} соответствует тип 3) не особых частных уравнений.
)Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант D=g(a)2-4f(a)h(a) обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень x=-.
)Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта D.
Множеству {a\f(a)0,D0} частные уравнения имеют два различных действительных корня.
Пример 1. Решить уравнение х2-х+1=.
Решение. В уравнении значение а=0 является контрольным, для него соответствующее частное уравнение не определено. На множестве {a\a?0} исходное уравнение равносильно (а+6)х2-(а+3)х+1=0.
f(a)=а+6 обращается в нуль для а=-6. Соответствующее частное уравнение 3х+1=0 имеет единственное решение х=-.
На множестве {a\a?-6;0} частные уравнения являются квадратными с дискриминантом D=а2+2а-15. Дискриминант D=0 для а=-5 и а=3. Пусть а=-5, соответствующее частное уравнение х2+2х+1=0 имеет двукратный корень х=-1. Для а=3 соответствующее частное уравнение 9х2-6х+1=0 имеет двукратный корень х=.
На числовой прямой отметим найденные значения параметра и на каждом из полученных промежутков установим знак дискриминанта D.
-6 -5 0 3 а
Если ає(-5;0)(0;3), то соответствующие частные уравнения не имеют решений. Для значений параметров из {a\a(-;-6)(-6;-5)(3;)} частные уравнения имеют два различных корня, их общие решения х=.
Ответ.
Пример 2. Решить уравнение (Iа-2I+а-2)х2+(IIаI-3I+а-3)х+(Iа-2I-а+2)=0.
Решение. По определению модуля f(a)= Iа-2I+а-2=
g(a)= IIаI-3I+а-3=
-6, если а<-3.
h(a)= Iа-2I-а+2=
Отметим промежутки, на которых коэффициенты f(a), g(a), h(a) обращаются в ноль.
f(a)=0 h(a)=0
0 2 3 а
g(a)=0
Коэффициент f(a)= Iа-2I+а-2 обращается в нуль для а(;2]. На данном множестве значений параметра исходное уравнение равносильно уравнению g(a)+h(a)=0. Для а=2 частное уравнение особое, типа , так как g(2)=h(2)=0.
Если а[0;2), то g(a)=0, h(a)=2(2-a)0 и частные уравнения особые, типа .
Пусть а(-;0), тогда g(a)?0 и х=-= является общим решением уравнения на данном множестве значений параметра.
На множестве значений параметра {a|f(a)?0}={a|a(2;)} соответствующие частные уравнения имеют вторую степень. Так как f(a)h(a)=(|a-2|+a-2)(|a-2|-(a-2))=|a-2|2-(a-2)2=0, то дискриминант D=g(a)2-4f(a)h(a)=g(a)2.
Отсюда дискриминант D=0для