Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
яют знаки соответственно при а=-.
Множество значений параметра а точками -, 0, , 1, 9 разбивается на четыре интервала и две полупрямые (к найденным ранее значениям параметра а добавлено значение, при котором обращается в нуль старший коэффициент, а=0).
Рассмотрим эти шесть случаев.
)а0, а<0, f(-1) =6a+10<0, f(4)=6a-5<0, хв= можно проверить, что при а<- будет -1<<4. Значит уравнение имеет корни, ветви параболы направлены вниз, значения
f(x) при х=-1 и х=4 отрицательны, вершина параболы расположена между прямыми х=-1 и х=4. Следовательно, в этом случае оба корня расположены между -1 и 4.
y
-1 0 4
хв x
)-0, f(4)<0. А поскольку а <0, то один корень меньше -1, а другой расположен между -1 и 4.
y
4
-1 0 x
Точно так же рассматриваются остальные четыре случая.
Ответ: при а0 имеем -1 <х1<х2<4; при -<a<0 имеем х1<-1<х2<4; при 0<а< имеем -1 < х1< 4< х2; при 1<а<9 корней нет. Если а=-. То х1=-1, х2=, если а=0, то один корень х0=; если а=, то х1=, х2=4; если а =1, то х1=х2=3; если а=9, то х1=х2=.
Пример 3. Определить, как расположены корни уравнения ах2-(а3+1)х+а2=0 относительно отрезка [1;3].
Решение. В данном случае приемы, которые мы использовали при решении предыдущего примера, не нужны; все гораздо проще, рассматриваемое уравнение всегда (при а?0) имеет корни: х1=а2 и х2=. теперь закончить решение не составляет труда.
При решении задач не стоит увлекаться общими теориями, следует попытаться сначала выявить специфику данного конкретного примера.
.Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов.
)Найти все значения параметра а, при которых уравнения х2-(2а-1)х+а=0 и (а+1)х2-ах-1=0 имеют хотя бы один общий корень.
Решение. Решение основывается на следующей простой идее: если два уравнения f1(x)=0 и f2(x)=0 имеют общий корень х0, то при любых k1 и k2 уравнение k1 f1(x)+ k2 f2(x)=0 имеет тот же корень х0.
Возьмем сначала k1 и k2 так, чтобы в комбинации исчез свободный член: k1=1, k2=а. получим после сокращения на х, поскольку очевидно, что х0?0, линейное уравнение (а2+а+1)х-(а2+2а-1)=0.
Затем выберем k1 и k2 так, чтобы исчез член с х2: k1=a+1, k2=-1. Получим второе линейное уравнение (2а2-1)х-(а2+а+1)=0.
Так как х должен удовлетворять обоим полученным линейным уравнениям, для а должно выполняться соотношение (а2+а+1)2=(а2+2а-1)(2а2-1).
Далее получаем а4+2а3-6а2-4а=0. Левая часть разлагается на множители:
а(а3+2а2-6а-4)=а(а3-2а2+4а2-8а+2а-4)=а((а-2)а2+(а-2)4а+2(а-2))=а(а-2)(а2+4а+1).
Ответ. а1=0, а2=2, а3=-2-, а4=-2+.
Для каждого из найденных значений а необходимо убедиться, что соответствующие уравнения имеют решения. (достаточно проверить существование одного из них).
Заданную пару квадратных уравнений можно рассматривать как систему из двух уравнений с неизвестными х и а.
)Расположить корни уравнений х2++2а=0 и х2+-а=0 в порядке возрастания.
Решение. Обозначим f(x)= х2++2а, g(x)= х2+-а, y1 и y2- корни уравнения f(x)=0; z1 и z2- корни уравнения g(x)=0.
По смыслу задачи следует рассматривать лишь те значения параметра а, для которых оба уравнения имеют решения. Условие не отрицательности обоих дискриминантов дают нам неравенства:- ?а<0, 0<а?.
Найдем значения х, при которых f(x)= g(x): х=. Уравнения имеют общий корень, если f()= g()=0, откуда а=-3.
Таким образом, множество значений параметра а, при которых оба уравнения имеют корни, разбито на два интервала.
-3 0 а
Концы интервалов удобнее рассматривать отдельно. Возникают три случая.
)- 0. С точностью до обозначений, какая из двух парабол соответствует f(x), а какая g(x), возможны два случая.
Y - <а<-3 y
f(x) g(x)
y1 0 z1 y2 z2 x y1 0 y2 z1 z2 x
Посмотрим, как расположены вершины каждой из парабол по отношению к прямой х=. Для f(x) имеем хв=-. На рассматриваемом интервале изменения а имеем -<. Вершина второй параболы также левее прямой х=. Следовательно, имеет место случай, когда вершины обеих парабол лежат по одну сторону от прямой х=. Осталось выяснить, какая из двух парабол на рисунке соответствует f(x), а какая g(x).
Если а<0 и х<, то f(x)- g(x)=(х-)<0, то есть f(x)<g(x). Значит, g(x) при х< идет выше f(x) и y1<z1<z2<y2. Если а=- , то y1<z1=z2<y2.
)-3<а<0. В этом случае f()= g()=а(а3+27)<0. Как и в предыдущем пункте, при х< f(x)<g(x), y1<z1< y2< z2.
Если а=-3, то y1<z1<z2=y2.
Y
0 y1 z1 y2 z2
X
)0g(x) при х<. Следовательно, z1<y1<y2<z2. Если а=, то z1<y1=y2<z2.
Y
<