Формирование прочных навыков усвоения решения задач с параметрами
Дипломная работа - Педагогика
Другие дипломы по предмету Педагогика
стественно начать решение, рассмотрев случай, когда коэффициент перед x2 равен нулю. Итак, если параметр равен нулю, то, очевидно, данное уравнение имеет единственное решение. если же a?0, то имеем дело с квадратным уравнением.
.1 Уравнения с ограничениями для решения
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение имеет один параметр а. если a=0, то пишем линейное уравнение -4x+3=0, которое имеет один корень . При a?0 уравнение является квадратным, и его корни выражаются через параметр а формулами . Эти формулы имеют числовые значения, если: . Решая это неравенство, находим:
при
при
при
Ответ. При ; при , ; при корней нет.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. рассмотрим два случая: a=2 и a?2. В первом случае исходное уравнение принимает вид -4x+1=0. Это линейное уравнение с единственным корнем . Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом .
Найдем промежутки знакопостоянства дискриминанта.
При a=1 или a=6 дискриминант квадратного уравнения равен нулю, и оно имеет один корень , то есть при a=1 получаем корень .
При дискриминант положительный, и квадратное уравнение имеет два корня:
.
При дискриминант оказывается отрицательным. Следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.
Ответ. При .
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. . Наличие квадратного уравнения приведет к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие должно привлечь внимание.
.
Если D>0, то есть , то уравнение имеет два корня . Если то корней нет.
Ответ. Если то , если , если , если то корней нет.
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Если a=-6, то решаем линейное уравнение -8x-6=0. .
Если a?-6, то решаем квадратное уравнение.
.
.
.
.
.
Если
Если .
Если a=-8, то x=-2.
Если a=2, то x=0,5.
Ответ. Если , если , если , то корней нет, если , то .
Пример 5. Найти все значения параметра b, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня.
Решение. рассматриваемое квадратное уравнение имеет два различных корня, если дискриминант его положительный. Запишем это условие: . Из последнего неравенства получим , откуда b>1.
Ответ. b>1.
Пример 6. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет два различных корня.
Решение. Выпишем условие положительности дискриминанта данного квадратного трехчлена.
. При p=0 единственное решение.
Ответ. .
Пример 7. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет ровно одно решение.
Решение. Пусть p=0. Тогда исходное уравнение принимает вид x+2=0 и имеет единственное решение x=-2.
Пусть теперь p?0. В этом случае исходное уравнение имеет одно решение, если его дискриминант равен нулю. Получаем D=1-8p=0, откуда .
Ответ. }.
Пример 8. Найти все значения параметра p, при каждом из которых уравнение имеет одно решение.
Решение. Исходное уравнение имеет одно решение при D?0, при этом, если D=0, то уравнение имеет ровно одно решение, а при D>0 - два решения (а если есть два решения, то есть и одно). Решая неравенство .
Ответ. .
Пример 9. При каких a уравнение имеет единственное решение ?
Решение. Понятно, что нужно начинать со случая a=2. Но при a=2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если a?2, то данное уравнение квадратное, и казалось бы, искомые значения параметра - это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при a=2 или a=5. Поскольку мы установили, что a=2 не подходит, то a=5.
Ответ. a=5.
Пример 10. При каких a уравнение имеет более одного корня?
Решение. При a=0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a?0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант - положителен. Отсюда получаем -4<a<1. Однако в полученный промежуток (-4;1) входит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.
Ответ. -4<a<0 или 0<a<1.
Пример 11. При каких a уравнение имеет более одного корня?
Решение. Стандартный шаг начать со случаев a=0 и a=-3. При a=0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при a=-3 решением уравнения служит любое действительное число. При a?-3 и a?0, разделив обе части данного уравнения на a+3, получим квадратное уравнение , дискриминант которого 4(1+3a) положителен при . Опыт предыдущих промежутков показывает, что из промежутка (; надо исключить точку a=0, а в ответ не забыть включить a=-3.
Ответ. a=-3 или 0.
.2 Задачи на использование теоремы Виета
Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение имеет корни, сумма которых равна нулю?
Решение. Это уравнение квадратное, его дискриминант .
Сумма корней уравнения равна - и по условию задачи она равна нулю, то есть , что возможно при . Теперь необходимо осуществить контроль неотрицательности дискриминанта при этих значениях а. при а=-2 дискриминант D=0+4*2=8 положителен, тогда как при а=1 дискриминант D=0-4=-4 оказывается отрицательным.
Ответ. а=-2.
Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение имеет хотя бы один положительный корень?
Решение. Данное уравнение квадратное, значит имеет корни при неотрицательном дискриминанте.
+ - +
4 a
То есть при . Значение большего (или единственного, в случае нулевого дискриминанта) корня должно быть положительным: , что равносильно (при D?0) следующей совокупности условий:
То есть а<1.
С учетом того, что при .
-1 1 4 а
Ответ. .
Пример 3. При как?/p>