План лекций: Введение Ценные бумаги (акции, облигации) Рынок денег Товарный рынок
| Вид материала | Анализ |
- Лекция. Основные понятия фондового рынка. Фондовый рыно, 82.73kb.
- Облигации как объект инвестиций, особенности инвестиций в облигации, 1796.25kb.
- Список вопросов к экзамену по курсу, 30.12kb.
- Рынок финансовых услуг сущность, функции и структура рынка финансовых услуг, 449.67kb.
- Курс лекций по дисциплине «Рынок ценных бумаг» Составитель: к э. н., доцент Бобылев, 258.71kb.
- Программа дисциплины «Неэмиссионные ценные бумаги», 279.64kb.
- В число которых не входят сами ценные бумаги, 207.91kb.
- Вопросы для подготовки к тестированию по курсу «Рынок ценных бумаг», 148.48kb.
- «Учет финансовых вложений в акции и долговые ценные бумаги». Научный Березина, 249.1kb.
- Ценные бумаги, 780.7kb.
Паритет опционов «пут» и «колл»
Если предположить, что рынок свободен от арбитражных ситуаций, нет операционных издержек, по акции не выплачиваются дивиденды и опционы имеют одну цену исполнения и дату истечения, то купив акцию, европейский опцион «пут» на нее и продав европейский опцион «колл» на нее, мы полностью защитимся от изменений цен на акцию на момент истечения опционов и получим гарантированную сумму. Такой же результат может быть получен от покупки безрискового актива (напр. казначейского векселя), не имеющего промежуточных выплат, с номиналом равным цене исполнения опционов и с той же датой истечения:
А. Начальная инвестиция
Покупка акции S0
Покупка опциона «пут» P0,T
Продажа опциона «колл» - C0,T
Чистая инвестиция S0 + P0,T - C0,T
Б. Стоимость портфеля на дату истечения (Т)
1) если SТ Х 2) если SТ > Х
Акция SТ SТ
Опцион «пут» Х - SТ 0
Опцион «колл» 0 - (SТ – Х)
Чистая позиция Х Х
При рыночной цене акции на момент Т меньше цены исполнения опционов Х инвестор исполнит опцион «пут» с прибылью, равной цене исполнения. При рыночной цене акции на момент Т больше цены исполнения опционов Х инвестор вынужден будет исполнить опцион «колл» с убытком, но сможет продать на рынке акцию с прибылью ровно перекрывающей убыток. Сравнив гарантированную сумму в момент Т с выплатой номинала безрискового актива, мы можем определить сегодняшнюю стоимость этой суммы путем ее приведения по безрисковой ставке:
S0 + P0,T - C0,T = Х/(1+ rf)T
Это выражение называется паритетом опционов «пут» и «колл» и показывает, что чистая инвестиция сегодня в покупку акции, опциона «пут» на нее и продажу опциона «колл» на нее равна приведенной на сегодня по безрисковой ставке (поскольку выплата Х гарантирована) цене исполнения опционов Х.
Как только паритет нарушается, появляется возможность арбитража.
Пример:
Текущая цена акции 53
Цена исполнения опциона «колл» и «пут» 50
Стоимость опциона «колл» 6,74
Стоимость опциона «пут» 2,51
Срок истечения опционов 6 месяцев
Стоимость позиции на данный момент = 53 + 2,51 – 6,74 = 50 / (1 + rf)
Всегда, когда безрисковая ставка не равна 5,11%, существует возможность без риска и без капиталовложений получить прибыль. Предположим, что rf = 6,25%. Инвестор купит безрисковый казначейский вексель (дешевле, чем за 48,77), и одновременно получит кредит по ставке 5,11% (дешевле, чем 6,25%) «продав» позицию с акцией и опционами.
Как использовать арбитраж при безрисковой ставке меньше 5,11% (предполагаемой паритетом) ? Подумайте, как можно использовать арбитраж при нарушении паритета по цене опциона «колл» (оба варианта).
Создание синтетических финансовых активов с использованием паритета опционов
Зная все остальные параметры, составляющие уравнение паритета опционов, можно найти (искусственно воссоздать отсутствующий на рынке) любой участвующий в паритете инструмент:
P0,T = Х/(1+ rf)T - S0 + C0,T
C0,T = S0 + P0,T - Х/(1+ rf)T
S0 = Х/(1+ rf)T - P0,T + C0,T
В любом из этих случаев нарушение паритета приведет к возникновению арбитража. Возможность арбитража, в свою очередь, привлечет растущее количество инвесторов, и конкуренция между ними в конечном итоге восстановит паритет. На эффективном рынке это произойдет очень быстро.
Корректировка паритета опционов на выплату дивидендов по акции (основе)
Предположим для упрощения, что дивиденд выплачивается непосредственно перед истечением срока опционов (т.е. в день Т). Предположим также, что размер этой выплаты известен в начальный момент (для трехмесячных опционов это практически всегда так). Таким образом конечная выплата по акции будет равна SТ + DТ (или Х + DТ). Владельцы опционов не получают дивиденды, поэтому выплаты по опционам не изменятся после введения в расчет дивидендов:
S0 + P0,T - C0,T = (Х + DТ)/(1+ rf)T
Сравнивая уравнения паритета с дивидендами и без них, отметим, что введение дивидендов снижает начальную стоимость акции:
S0 + P0,T - C0,T = Х /(1+ rf)T + DТ/(1+ rf)T
S0 - DТ/(1+ rf)T + P0,T - C0,T = Х /(1+ rf)T
Разница между ценами опционов «колл» и «пут» также снижается с введением в расчет дивидендов:
А. Без дивидендов
S0 + P0,T - C0,T = Х /(1+ rf)T
S0 + P0,T = Х /(1+ rf)T + C0,T
S0 = Х /(1+ rf)T + C0,T - P0,T
S0 - Х /(1+ rf)T = C0,T - P0,T
А. С дивидендами
S0 + P0,T - C0,T = Х /(1+ rf)T + DТ /(1+ rf)T
S0 + P0,T = Х /(1+ rf)T + DТ /(1+ rf)T + C0,T
S0 = Х /(1+ rf)T + DТ /(1+ rf)T + C0,T - P0,T
S0 - Х /(1+ rf)T - DТ /(1+ rf)T = C0,T - P0,T
Когда дивидендная выплата произойдет раньше, чем мы предположили, в выражении DТ /(1+ rf)T нужно скорректировать степень T.
Паритет опционов «пут», «колл» и форварда
В начальный момент времени вместо покупки акции мы можем стать покупателями в форвардном или фьючерсном контракте на эту акцию:
А. Начальная инвестиция
Покупка форварда 0
Покупка опциона «пут» P0,T
Продажа опциона «колл» - C0,T
Чистая инвестиция P0,T - C0,T
Б. Стоимость портфеля на дату истечения (Т)
1) если SТ Х 2) если SТ > Х
Форвард SТ – F0,T SТ – F0,T
Опцион «пут» Х - SТ 0
Опцион «колл» 0 - (SТ – Х)
Чистая позиция Х – F0,T Х – F0,T
(Х - F0,T) /(1+ rf)T = C0,T - P0,T (т.е. начальная инвестиция равна приведенной стоимости конечной позиции)
Единственным случаем, когда на эффективном рынке цены опционов «пут» и «колл» равны, является равенство цены исполнения и цены форварда (Х = F0,T).
Сравнив уравнения паритета для акции и для форварда, можно заметить, что они имеют общее значение (разницу цен опционов), таким образом:
S0 - Х /(1+ rf)T - DТ /(1+ rf)T = (Х - F0,T) /(1+ rf)T
Упростив получаем:
S0 = F0,T/(1+ rf)T
При отсутствии дивидендов текущая стоимость акции равна приведенной по безрисковой ставке форвардной цене на нее. Если учесть дивиденды получим:
S0 - DТ /(1+ rf)T = F0,T/(1+ rf)T
Обратите внимание, что дивиденды влияют лишь на позицию владельца акции, но не на владельца форварда.
Применение производных инструментов в управлении портфелем
Кроме снижения риска портфеля, производные могут использоваться для получения дополнительного дохода по портфелю.
Реструктуризация портфеля активов с использованием форвардных контрактов.
Предположим, что вы инвестировали средства в портфель активов на подобии индекса Стэндард энд Пуэрс 500. Макроэкономические изменения наводят вас на мысль о возможности получения дополнительной прибыли от временного переключения на другой класс активов (напр. активы с фиксированным доходом или краткосрочные активы). Такая стратегия называется стратегическим размещением активов. Рынок акций стабильно рос в течение последних нескольких месяцев, но вы озабочены вероятностью того, что инфляция снизит реальные доходы корпораций и приведет к падению цен на акции. Это всего лишь предположение, но вы уверены, что неопределенность исчезнет до конца текущего квартала. Естественно, что вы хотели бы на этот период застраховать себя от возможных потерь. Один из способов сделать это – продать свой портфель акций и купить 90-дневные казначейские векселя (безрисковое вложение), а через 90 дней выкупить обратно акции. Другой способ – это сохранить портфель акций, но перевести в безрисковую позицию синтетического 3-х месячного форвардного контракта (короткая позиция) с основой в виде индекса S&P 500. Это классический «хедж», при котором риск покрывается (а не ликвидируется) с помощью дополнительной операции с производным инструментом.
Экономические изменения Позиция по Позиция по
имеющемуся портфелю с
портфелю форвардом
Цены на акции падают Потери Прибыль
Цены на акции растут Прибыль Потери
Другими словами всегда можно путем сочетания отрицательно кореллирующих инструментов создать безрисковую позицию. Такой подход намного дешевле, чем первый способ с действительной заменой активов (операционные издержки и налоги).
Защита стоимости портфеля опционом «пут»
В предыдущем примере вы защитили себя от падения и повышения цен на акции. Однако, повышение цен вым выгодно. Если вы все же предполагаете возможный рост цен, лучше прибегнуть к несимметричному хеджу:
Экономические изменения Позиция по Позиция по
имеющемуся портфелю с
портфелю хеджем
Цены на акции падают Потери Прибыль
Цены на акции растут Прибыль Без потерь
Для этого необходимо купить опцион «пут» (защитный «пут»). Аналогичные стратегии называются «страхованием портфеля».
Еще одним способом защитного хеджирования может быть продажа портфеля акций и покупка безрискового актива и опциона «колл».
Выбор решения во многом будет зависеть от относительных цен опционов и операционных издержек.
Изменение структуры платежей портфеля с помощью опциона «колл»
Если ожидается, что стоимость портфеля в ближайшее время значительно не изменится, инвестор продает (выписывает) опцион «колл» на имеющуюся у него основу. Такой опцион называется покрытым. При этом он получает премию опциона, которая составит его прибыль, если цена основы не поднимется на дату истечения опциона. Риск того, что это произойдет, и опцион будет исполнен, конечно, существует:
Стоимость позиции покрытого опциона «колл» сравнима с схемой выплат по продаже опциона «пут», но с добавлением начальной стоимости портфеля.
Портфель с акциями и выписанным на них опционом «колл» производит выплаты эквивалентные стратегии покупки безрискового актива с номиналом равным цене исполнения опциона «колл» и продажи опциона «пут» на него с той же ценой исполнения. Как и раньше, цель такой стратегии - увеличить общую сумму инвестиции до уровня, сравнимого с начальной позицией. Такая стратегия подвержена двустороннему риску: 1) если стоимость портфеля на дату истечения опциона превысит 100, менеджеру придется продать акции дешевле, чем они реально стоят на данный момент; 2) если стоимость портфеля упадет более, чем на 2,813 (премия опциона «колл»), то инвестор опять понесет убытки, в этом случае ему лучше было бы просто купить защитный «пут».
Хеджирование с помощью форвардов и фьючерсов
Целью операции хеджирования является создание позиции, которая добавляется в портфель инвестора и «покрывает» ценовой риск другой более фундаментальной позиции. Инвестор занимает позицию «короткого хеджа» когда становится продавцом в форвардном контракте на товар и одновременно покупает этот товар в соответствующем количестве. «Длинный хедж» предполагает наоборот продажу товара и длинную позицию покупателя по форварду. И короткий и длинный хедж основываются на предположении о том, что с изменением цены товара изменится и цена форвардного контракта на этот товар. Обладатель короткого хеджа надеется, что цены на товар снизятся, и цена форварда снизится на ту же величину. Поэтому принципиальным в хеджировании является взаимное изменение цен спот и форвард. Концепция «базиса» поможет лучше понять эту взаимосвязь. В любой момент времени t базисом является цена спот минус цена форвард, применяемая в момент T:
Bt,T = St – Ft,T
1) начальный базис в момент 0 всегда известен, так как известны текущие спот и форвард цены; 2) конечный базис в момент Т всегда равен 0.
Длинная позиция + короткая позиция по форвардному контракту: F0,T – S0. Если Закрытая позиция до истечения форварда: 1) продать на рынке свою позицию по товару за цену St и 2) выкупить свою короткую позицию по форвардному контракту по новой цене Ft,T. Прибыль короткого хеджа, ликвидированного в момент t равна:
Bt,T – B0,T = (St – Ft,T) – (S0 – F0,T)
Значение Bt,T часто называют базисом покрытия. Как только сформирована позиция хеджирования, инвестор больше не подвергается риску изменения цены одной только лишь основы, а и базиса. Подобрав форвардный контракт с абсолютно совпадающей основой и датой исполнения можно минимизировать базисный риск. В условиях торговли фьючерсами достичь этого бывает сложно из-за их стандартности, поэтому фьючерсам часто присущ базисный риск.
Пример хеджа:
Длинная позиция по 100 000 фунтам хлопка,
Фьючерсные контракты по хлопку с поставкой 50 000 фунтов
Короткая позиция по двум майским фьючерсам с намерением ликвидировать позицию на месяц раньше.
Цена спот на хлопок 0, 7945 долларов США за фунт
Цена исполнения майского фьючерса 0, 8232 долларов США за фунт.
Начальный базис равен – 2,87 центов
В апреле цена хлопка снизилась до 0, 7660, а цена фьючерсного контракта до 0,7753. Базис покрытия составил –0,93 цента
Апрельская цена продажи хлопка 0, 8139 долларов США: 0, 0479 (=0, 8232 – 0, 7753). Короткий хедж принес прибыль за счет замены чисто ценового риска на базисный риск.
Расчет оптимального коэффициента хеджирования
Джонсон и Штейн - количество контрактов, которое минимизировало бы дисперсию чистой прибыли от хеджированной позиции.
Длинная позиция по единице основы и короткой позиции по N количеству форвардных контрактов на эту же основу. Чистая прибыль этой позиции на дату t :
Пt = (St – S0) – (Ft,T – F0,T)*N = (S) – (F*N)
Дисперсия чистой прибыли представляется как:
п2 = S 2 + N2*(F 2) – 2*N*COVS,F
где COVS,F – ковариация изменений цен спот и форвард. Сократив формулу и переписав ее для нахождения N, получаем:
N = COVS,F / F 2 = (S / F) *
где коэффициент корелляции изменений цен спот и форвард. Оптимальный коэффициент хеджирования - соотношение стандартных отклонений изменений цен спот и форвард умноженное на их коэффициент корелляции. Оптимальное число форвардных контрактов определяется соотношением изменчивости цен, скорректированным на корелляцию изменений цен как показатель систематической взаимосвязи между изменениями цен спот и форвард (вспомните «бету»). Наилучшим контрактом для хеджирования является тот, у которого наивысшее значение .
Производитель одежды хочет застраховать будущую покупку шерсти, товара по которому не существует биржевых фьючерсных контрактов? Можно сформировать «перекрестный хедж» с хлопком, если изменения цен на хлопок тесно связаны с изменениями цен на шерсть. При этом ожидаемый базисный риск такого хеджа 1-2.
Основные способы оценивания форвардных и фьючерсных контрактов
Начальная рыночная стоимость равна нулю. Изменения условий увеличивают стоимость контракта для одной из его сторон.
В момент 0 заключен форвардный контракт на покупку Q количества золота в момент Т за F0,T. В момент t вы решили избавиться от форвардных обязательств и риска изменения будущих цент (закрыть форвардную позицию).
Занять короткую позицию в момент t по такому же форвардному контракту с ценой Ft,T. Любые изменения цен на золото теперь вас уже не тревожат. Прибыль или убыток определяются:
Vt,T = Q* (Ft,T – F0,T) / (1+i)(T-t)
Vt,T - стоимость форвардного контракта в момент t (может быть как положительна, так и отрицательна, выплаты отличаются только знаками плюс и минус). С приближением даты t к дате T, стоимость контракта превращается просто в разницу цен Ft,T и F0,T:
Vt,T = Q* (Ft,T – F0,T)
Оценка фьючерсного контракта принципиально похожа на оценку форвардного контракта. Различие - фьючерсные контракты ежедневно пересчитываются и получаемая разница цен не приводится (дисконтируется) для учета временной разницы между датами t и Т. Уравнение стоимости форвардного контракта может быть скорректировано для фьючерсного контракта:
V*t,T = Q* (F*t,T – F*0,T)
где * означает вероятность того, что цена форварда и цена фьючерса с одинаковой основой на один момент времени будет различной. Обычно разница форвардных и фьючерсных цен на валютных рынках относительно мала, но значительно выше на некоторых товарных рынках (сельскохозяйственная продукция и ценные металлы).
Взаимосвязь цен спот и форвард
Цена исполнения форвардного контракта устанавливается в результате переговоров между сторонами контракта. Продавец по форвардному контракту может либо занять спекулятивную позицию, купив основу на рынке позже (по неизвестной сегодня цене), либо купить основу сразу (по известной цене) и хранить ее до исполнения контракта. В последнем случае он может определить для себя минимальную цену форварда основываясь на затратах, связанных с покупкой, хранением, перевозкой товара (если основа товар) и другими соответствующими платежами. Назовем эти затраты «попутными» и обозначим SC0,T. Другие соответствующие платежи помимо дополнительных затрат, таких например как проценты по займу i0,T, могут включать и вознаграждения в виде дивидендов D0,T (если основа - акция) или скидки за предварительную поставку какой-то части основы:
F0,T = S0 + SC0,T = S0 + (PC0,T + i0,T – D0,T)
Существует прямая взаимосвязь между текущими форвардными и спот ставками. Согласно гипотезе чистых ожиданий F0,T = SТ, форвардные цены становятся «предсказателями» будущих рыночных цен.
Когда число коротких хеджеров на рынке превосходит число длинных хеджеров, F0,T < SТ, преобладание предложения понизит цены форвардных контрактов - «нормальный бэквордэйшн». В обратной ситуации F0,T > SТ, - рынок «контанго».