Математическое моделирование
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
?теристик вычислительных систем
. Метод повторных экспериментов
. Методы генерации случайных величин и последовательностей
1. Методы определения характеристик вычислительных систем
Измеряемые характеристики ВС. При имитационном моделировании можно измерять значения любых характеристик, интересующих исследователя. Обычно по результатам измерений вычисляют характеристики всей системы, каждого потока и устройства.
Для всей ВС производится подсчет поступивших в систему заявок, полностью обслуженных и покинувших систему заявок без обслуживания по тем или иным причинам. Соотношения этих величин характеризуют производительность ВС при определенной рабочей нагрузке.
По каждому потоку заявок могут вычисляться времена реакции и ожидания, количества обслуженных и потерянных заявок. По каждому устройству зачастую определяются время загрузки при обслуживании одной заявки и число обслуженных устройствам заявок, время простоя устройства в результате отказов и количество отказов, возникших в процессе моделирования, длины очередей и занимаемые емкости памяти.
При статистическом моделировании большая часть характеристик - это случайные величины. По каждой такой характеристике у определяется N значений, по которым строится гистограмма относительных частот, вычисляются математическое ожидание, дисперсия и моменты более высокого порядка, определяются средние по времени и максимальные значения. Коэффициенты загрузки устройств вычисляются по формуле
(1)
где - коэффициент загрузки k-го устройства; - среднее время обслуживания одной заявки k-м устройством; Nok- количество обслуженных устройством заявок за время моделирования Тт
Определение условий удовлетворения стохастических ограничений при имитационном моделировании производится путем простого подсчета количеств измерений, вышедших и не вышедших за допустимые пределы.
Расчет математического ожидания и дисперсии выходной характеристики. В случае анализа стационарного эргодического процесса функционирования системы вычисление математического ожидания и дисперсии характеристики у производится усреднением не по времени, а по множеству N значений, измеренных по одной реализации процесса достаточной продолжительности. В целях экономии основной памяти ВС, на которой проводится моделирование, математическое ожидание и дисперсия вычисляются в ходе моделирования путем наращивания итогов при появлении очередного измерения случайной характеристики по рекуррентным формулам. Математическое ожидание случайной величины у для ее n-го измерения уn:
(2)
где mn-1 - математическое ожидание, вычисленное по предыдущим п - 1 измерениям.
Дисперсия для n-го измерения:
(3)
где - дисперсия, вычисленная по предыдущим п - 1 измерениям. Вначале дисперсия принимается равной нулю.
При большом количестве измерений эти оценки являются состоятельными и несмещенными.
Расчет среднего по времени значения выходной характеристики. В процессе моделирования постоянно ведется подсчет длины очереди к каждому устройству и занимаемой емкости накопителей. При этом отслеживается максимальное значение и вычисляется среднее по времени значение. Например, средняя длина очереди вычисляется по формуле
(4)
Рис. 1. Временная диаграмма изменения длины очереди
где i - номер очередного изменения состояния очереди (занесения заявки в очередь или исключения из очереди) (рис. 1); N-количество изменений состояния очереди; i; - интервал времени от (i-1)-го до 1-го изменения состояния; li - число заявок в очереди в интервале
По аналогичной формуле вычисляетсясредняя повремени используемая емкость накопителя:
(5)
где qi - емкость накопителя, занятая в интервале времени между двумя последовательными, обращениями к накопителю.
Формулы (4) и (5) приводят к виду, удобному для вычисления путем наращивания итогов.
Построение гистограммы. Основное достоинство имитационного моделирования заключается в том, что по любой выходной характеристике может быть построена гистограмма относительных частот - эмпирическая плотность распределения вероятностей, вне зависимости от сочетаний распределений параметров системы и внешних воздействий. При исследовании стационарной системы гистограмма строится по следующей методике.
Перед началом моделирования задаются предположительные границы изменения интересующей выходной характеристики y, т. е. нижний yH и верхний yB пределы, и указывается число интервалов гистограммы Ng. По этим данным вычисляется интервал
Затем в процессе моделирования по мере появления измерений характеристики у, определяется число попаданий этой случайной величины в i-й интервал гистограммы Ri; и подсчитывается общее число измерений N. По полученным данным вычисляется относительная частота по каждому интервалу:
Этих данных достаточно для построения гистограммы относительных частот: на оси абсцисс откладываются пределы изменения анализируемой характеристики у; весь диапазон изменения подразделяется на заданное число интервалов; над каждым t-м интервалом проводится отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии, равном Gi от оси абсцисс