Математическое моделирование
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
спределении времени обслуживания среднее время реакции равняется среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок. Отсюда получается:
(8)
Вторая формула Литтла связывает среднее время пребывания заявки в очереди и среднее число заявок в очереди подобным соотношением:
(9)
Среднее время реакции равняется сумме среднего времени пребывания заявки в очереди и средней длительности обслуживания заявки:
(10)
Важно отметить, что в системе М/М/ 1 времена ожидания и реакции, а также периоды между моментами ухода следующих друг за другом заявок распределены по экспоненциальному закону. Для других систем при аналитическом моделировании не всегда представляется возможным определить законы распределения выходных характеристик.
При ? > 1 в системе не устанавливается стационарный режим. В пределе длина очереди, а значит, и времена ожидания и реакции стремятся к бесконечности.
. Характеристики вычислительных систем как сложных систем массового обслуживания
Многомерный поток. На вход обслуживающего прибора может поступать многомерный поток заявок, состоящий из заявок типов 1, ..., М, у которых интенсивности равны Предположим, что каждый из потоков заявок одного типа является простейшим. Загрузка прибора потоком заявок типа i будет составлять
где - средняя длительность обслуживания заявок типа i. Суммарная загрузка прибора со стороны всех потоков
(11)
Рис. 4. Граф состояний многоканальной СМО
моделирование параметрическая идентификация вычислительная система
Условие существования стационарного режима: Р < 1. Остальные характеристики обслуживания ni, li, ui, определяются для каждого i-гo потока в отдельности по формулам (5)- (9).
Средние времена ожидания ср и реакции uср по одной заявке из суммарного потока в системе связаны со средними количествами заявок в очереди и в системе следующими соотношениями:
(12)
(13)
где - суммарная интенсивность потоков; - вероятность того, что поступившая заявка является заявкой i-гo типа;
lcp - средняя длина очереди заявок всех типов; n ср - среднее число заявок всех типов в системе.
Многоканальная СМО. Предположим, что система имеет т обслуживающих каналов с одинаковой интенсивностью обслуживания , при общем простейшем потоке заявок с интенсивностью . Такая система условно обозначается М/М/т. Граф состояний этой системы (рис. 4) подобен графу одноканальной СМО. Интенсивности перехода в соседнее правое состояние определяются, как и у одноканальной СМО, интенсивностью входного потока : с приходом очередной заявки система переходит в следующее правое состояние. Иначе обстоит дело с интенсивностями у нижних стрелок. Пусть система находится в состоянии z1 - работает один канал. Он производит обслуживании в единицу времени. Тогда . Представим, что система находится в состоянии z2. Для перехода в состояние z1 надо, чтобы закончил обслуживание первый или второй канал. Значит, суммарная интенсивность их обслуживания Суммарный поток обслуживания k каналами имеет интенсивность k. При kт интенсивность обслуживания сохраняется т. Получается модель размножения и гибели. Делая выкладки, как для одноканальной СМО, получим
Средняя длина очереди
(14)
Прибавляя к ней среднее число заявок, находящихся под обслуживанием, равное среднему числу занятых каналов
получим среднее число заявок в системе:
(15)
По формулам Литтла определяется среднее время пребывания заявки в очереди:
(16)
и в системе - время реакции:
(17)
В теории массового обслуживания имеются аналитические формулы для простейших СМО при одномерном и многомерном потоке заявок для одноканальных и многоканальных систем без ограничений и с ограничениями длин очередей.
Потоки обслуживания. При моделировании конкретных ВС потоки заявок и обслуживания могут отличаться от простейших. Потоки заявок могут быть, например, пуассоновскими или эрланговскими. Длительности обслуживания можно представить в общем случае гамма-распределением. Это распределение с плотностью вероятности
(18)
где - математическое ожидание длительности обслуживания М [ ]; k - параметр распределения (k 1); Г (k) - гамма-функция.
Дисперсия гамма-распределения
(19)
При k = 1 гамма-распределение вырождается в экспоненциальное. В пределе при k это распределение становится детерминированным с постоянной длительностью обслуживания . Параметр распределения k может быть определен по математическому ожиданию и дисперсии:
(20)
Рис. 5. Нормированное распределение Эрланга
При целочисленном k Г (k) = (k-1)!. Тогда из уравнения (18) имеем
,(21)
Это плотность нормированного распределения Эрланга k-го порядка. Вид распределения изображен на рис. 5. В данном распределении в отличие от потока Эрланга математическое ожидание не зависит от k и при k это распределение стремится к детерминированному, а не к нормальному.
В частных случаях длительности обслуживания могут быть распределены по экспоненциальному, равномерному, но