Математическое моделирование
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
? однородным бесконечным простейшим потоком заявок и неограниченной очередью. Интенсивность потока заявок равна . Длительность обслуживания заявки - это случайная величина с математическим ожиданием .
Наряду с понятием средней длительности обслуживания используется понятие интенсивности обслуживания - величины, обратной , и характеризующей число заявок, которое может обслужить прибор в единицу времени.
Поток обслуживания тоже будем считать простейшим с интенсивностью . В соответствии с символикой, принятой в теории массового обслуживания, такая система обозначается М/М/1.
Выделим состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе:
z0 - прибор свободен, очереди нет;
z1 - прибор занят (обслуживает заявку), очереди нет;
z2 - прибор занят, одна заявка в очереди;
zk - прибор занят, (k - 1) заявок стоит в очереди.
Рис. 1. Граф состояний СМО
Граф состояний такой системы изображен на рис. 1. Это модель размножения и гибели, но с бесконечным количеством состояний, поскольку, очередь неограниченна.
Коэффициент загрузки. Предельная вероятность состояния
(1)
Обозначая получаем
.(2)
Ряд в этой формуле представляет собой геометрическую прогрессию. Известно, что при ? < 1 ряд сходится. Сумма членов прогрессии при этом равна 1/(1 - ?), откуда
Это вероятность того, что прибор свободен и очередь отсутствует. Значит, вероятность того, что прибор занят обслуживанием заявки,
Это означает, что отношение
(3)
служит мерой загрузки СМО и является коэффициентом загрузки. Тогда коэффициент простоя.
Число заявок в СМО. Вероятности состояний z1, ..., zk, ... определяются из общей формулы размножения и гибели:
Определим среднее число заявок в системе п. В текущий момент времени в системе может быть 0, 1, 2, .... k, ... заявок с вероятностями p0, p1, p2,…, pk… Математическое ожидание количества заявок равно
Подставим значение рk и р0, исключив первое слагаемое, равное нулю:
Вынесем за знак суммы ? (1 - р):
Но - это производная по от :
.
Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим
(4)
Сумма в этой формуле - это сумма бесконечно убывающей прогрессии при она равна ?/(1-?), а ее производная 1/(1- ?)2. Следовательно, число заявок в системе в установившемся стационарном режиме
п = ?/(1 - ?).(5)
Длина очереди. Найдем среднее число заявок в очереди к обслуживающему прибору - среднюю длину очереди l. Она равна среднему числу заявок в системе за вычетом среднего числа заявок, находящихся под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть равно нулю, если прибор свободен, или единице, если прибор занят. В установившемся режиме математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что прибор занят. А эта вероятность определена ранее - ?. Откуда получается средняя длина очереди в СМО:
(6)
Зависимость средней длины очереди от коэффициента загрузки изображена на рис. 2. При ? > 0,6-0,7 очередь стремительно увеличивается и при ? 1 уходит в бесконечность. У детерминированной системы коэффициенты вариации интенсивностей потоков заявок и обслуживания равны нулю, при ? < 1 очередь отсутствует, а при ? 1 - уходит в бесконечность. Для систем, которые имеют промежуточные коэффициенты вариации 0 <v < 1, зависимости средней длины очереди от коэффициента загрузки лежат в области, заштрихованной на рис. 2.
Время реакции. Для определения среднего времени реакции рассмотрим поток заявок, прибывающих в СМО, и поток заявок, покидающих систему. Если в системе устанавливается предельный стационарный режим при ?<1, то среднее число заявок, прибывающих в единицу времени, равно среднему числу заявок, покидающих ее: оба потока имеют интенсивность .
Рис. 2. Зависимость средней длины очереди от коэффициента загрузки для простейшей СМО
Рис. 3. Временная диаграмма процессов поступления и ухода заявок
Обозначим через Х (t) число заявок, поступивших в СМО до момента времени t, а через Y (t) - число заявок, покинувших СМО до момента t. Та и. другая функции являются случайными и меняются скачком - увеличиваются на единицу в моменты прихода или ухода заявок (рис. 3).
Очевидно, что для любого момента времени t разность функций п (t)=Х (t) - Y (t) есть число заявок, находящихся в СМО. Рассмотрим большой промежуток времени Т и вычислим среднее число заявок, находящихся в системе:
Интеграл изображен в виде заштрихованной фигуры на рис. 3. Она состоит из прямоугольников, каждый из которых имеет высоту, равную единице, и основание, равное времени пребывания в системе i-й заявки ti:
где сумма распространяется на все заявки, поступившие в систему за время Т.
Разделим правую и левую части на Т.
Разделим и умножим правую часть на :
Произведение ,-это среднее количество заявок, пришедших за время Т. Если разделить сумму всех времен ti на среднее число заявок, то получится среднее время пребывания заявки в системе, т. е. среднее время реакции и:
(7)
Это формула Литтла: для каждой СМО при любом характере потока заявок и при любом ра