Математическое моделирование
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
нестационарных режимах функционирования ВС можно определить для одних систем путем численного решения уравнений Колмогорова задавая в них интенсивности как функции времени для других систем - в результате непрерывной или диффузионной аппроксимации процессов.
Частным случаем нестационарных режимов является переходный процесс, когда, например, в начальный момент времени в системе отсутствуют очереди и начинают поступать заявки с постоянной интенсивностью ?. Важно уметь определять, когда установится стационарный режим.
В работе приводятся результаты анализа переходных процессов для системы M/G/1. Интенсивность входящего пуассоновского потока принималась равной 0,95 заявок в минуту, а среднее время обслуживания v =1 мин. Коэффициент загрузки ? = 0,95. Рассматривались следующие распределения длительности обслуживания:
) экспоненциальное распределение
) нормированное распределение Эрланга 8-го порядка со средним, равным восьми,
) комбинация экспоненциального распределения со средним значением 4 и распределения Эрланга 4-го порядка со средним значением 2/3
Зависимости среднего времени ожидания заявок в очереди в течение переходного процесса для этих случаев показаны на рис. 1. Установившиеся значения соответственно равны 19; 10,69 и 35,2 мин. Если принять длительность переходного процесса равной бремени, в течение которого среднее время ожидания достигает 0,8 от установившегося значения, то для этих случаев она соответственно составит 15,2; 8,55 и 28,2 ч. За эти времена система успевает обслужить 867, 487 или 1605 заявок. Можно утверждать, что ВС с суточным циклом никогда не работают практически в установившемся режиме при большой загрузке. Этот вывод можно распространить на ВС с большей длительностью цикла, если они имеют соответственно меньшие интенсивности поступления и обслуживания заявок.
Режимы перегрузок. Методы непрерывной и диффузионной аппроксимации дают возможность проанализировать поведение системы при изменяющихся во времени интенсивностях прихода и обслуживания заявок. С практических позиций наибольшую важность представляет анализ режима перегрузок, когда в течение некоторого интервала времени коэффициент загрузки ? > 1.
Рассмотрим этот режим на упрощенном примере (рис. 2). Предположим, что в одноканальную систему поступает одномерный поток заявок с интенсивностью . Заявки обслуживаются в порядке поступления с постоянной интенсивностью
В начальный момент t0 коэффициент загрузки ? < 1. В системе. имеются заявки, накопление которых обусловлено случайным характером их поступления и обслуживания.
Затем интенсивность поступления заявок начинает расти, достигая максимального значения. С момента t1 становится ? > 1 и увеличивается число заявок в системе. При максимальном число заявок n(t) растет линейно, стремясь к бесконечности. Но в связи с тем, что в момент t2 интенсивность поступления начинает уменьшаться, рост n(t) замедляется и достигает максимума в момент t3 при р = 1.
В режиме перегрузки накопление заявок в системе определяется в основном не случайными факторами, а превышением средней интенсивности поступления над интенсивностью обслуживания. С момента t3 число заявок уменьшается до момента t4 принимая установившееся значение. Длительность рассасывания числа заявок может быть приближенно оценена по равенству заштрихованных на рисунке площадей, обозначенных плюсом и минусом.
Важно подчеркнуть, что такая система может быть вполне работоспособна, если максимальное число заявок в системе, а соответственно и время реакции не превысят допустимых значений. При правильном задании стохастических ограничений, систему можно считать работоспособной даже при кратковременном превышении допустимых значений математическим ожиданием времени реакции. Этот подход дает возможность выбрать производительность ВС не по максимальной интенсивности поступления заявок, обеспечивая ? < 1, а на существенно более низком уровне. Отдельные вопросы анализа нестационарных ВС рассматриваются в работах.
2. Характеристики вычислительных систем как стохастических сетей
Описание стохастической сети. Обычно ВС представляется не отдельной СМО, а стохастической сетью. Для описания ВС в виде стохастической сети определяются следующие параметры:
) число СМО, образующих сеть (S1, S2, ..., Sn);
) число каналов каждой СМО (т1 ..., mn);
) матрица вероятностей передач Р = [pij], где рij - вероятность того, что заявка, покидающая систему Si, поступает в систему Sj (i, j=0,1,...n);
4) интенсивность источника заявок S0 в разомкнутой сети или число М заявок в замкнутой сети;
) средние длительности обслуживания заявок в системах S1,...Sn.
Рассмотрим характеристики экспоненциальных сетей. Экспоненциальная стохастическая сеть имеет простейшие входные потоки и распределенные по экспоненциальному закону длительности обслуживания заявок в различных системах сети. В установившемся режиме вероятность передачи заявки из системы Si; в систему Sj равна доле потока, поступающего из системы Si; в систему Sj. Если система без потерь, то на входе системы Si; имеется поток с интенсивностью
1, ..., n.(1)
Из этой системы уравнений находятся соотношения интенсивностей потоков и в виде
(2)
где - ко