Математическое моделирование
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
дисперсии вычисляются по формулам (2) и (3) соответственно. Тогда в r-м сечении i-го эксперимента оценка математического ожидания времени загрузки каждого устройства при обслуживании одной заявки:
где Vi-1 - математическое ожидание времени загрузки за предыдущие (i- 1) экспериментов; Nz(i-1) - число загрузок устройства на r-м прогоне по предыдущим (i - 1) экспериментам; - математическое ожидание времени загрузки на r-м прогоне в i-м эксперименте; nzi - число загрузок устройства на r-м прогоне в i-м эксперименте.
Дисперсия времени загрузки каждого устройства на r-м прогоне
где D [Vi-1] - дисперсия, вычисленная по предыдущим (i - 1) экспериментам; di -дисперсия, вычисленная в i-м эксперименте.
Коэффициенты загрузки устройств вычисляются по формуле (1).
Оценки математического ожидания и дисперсии времени реакции Ui по каждому потоку в r-м сечении i-го эксперимента выполняются по формулам, аналогичным (15) и (16). Для экономии места в памяти моделирующей ВС обновленные статистические характеристики по r-му сечению записываются на место прежних, вычисленных в (i - 1) эксперименте.
3. Методы генерации случайных величин и последовательностей
Датчики равномерно распределенных случайных чисел. При статистическом моделировании стохастических систем возникает необходимость в определении случайных событий, величин и последовательностей по заданным статистическим характеристикам. В основе их определения лежит использование последовательности чисел, равномерно распределенных в интервале (0,1). Программы ВС, формирующие такие последовательности, называют датчиками или генераторами случайных чисел.
Для получения последовательности равномерно распределенных случайных чисел с помощью ВС часто используется мультипликативный способ. Случайные числа получаются из рекуррентного соотношения
(17)
где А, С - константы; М - достаточно большое положительное целое число.
При соответствующем выборе констант и задании некоторого начального значения эта формула позволяет получать последовательность целых чисел, равномерно распределенных в интервале (0, М - 1). Последовательность имеет период повторения, равный М. Поэтому точнее называть числа псевдослучайными. Случайные числа, равномерно распределенные в интервале (0,1), находятся масштабным преобразованием полученных целых чисел.
Моделирование случайных событий и дискретных величин. Для моделирования случайного события X, наступающего с вероятностью Р, берется значение случайного числа, равномерно распределенного на интервале (0,1), и сравнивается с Р. Если Р, то считается, что произошло событие X.
Предположим, что дискретная случайная величина Y может принимать значения y1, …, yn вероятностями р1, ..., рп.. При этом
.
Тогда берется значение случайного числа, распределенного равномерно на интервале (0, 1), и определяется такое k, принадлежащее совокупности (1, n), при котором удовлетворяется неравенство
Тогда случайная величина Y принимает значение уk..
Моделирование случайных непрерывных величин. Пусть непрерывная случайная величина Y имеет произвольный закон распределения. Предположим, что она задается эмпирической плотностью распределения f* (у) - гистограммой (рис. 5, а). Из гистограммы определяется эмпирическая функция распределения F* (у) - дискретная кумулятивная функция (рис. 5, б) для середин интервалов группирования случайной величины в пределах (ymin, y max).
Для определения одного конкретного значения случайной величины Y берется значение ? случайного числа, равномерно распределенного на интервале (0, 1). Затем находится такое k, при котором
Рис. 5. Графики для определения значения случайного числа по дискретной и интегральной функции распределения
Тогда искомое случайное число равно yk (рис. 5, б). Это же правило применимо и при задании случайной непрерывной величины интегральной функцией распределения F (у), как показано на рис. 5, в. Оно вытекает из теоремы: если случайная величина Y имеет плотность распределения F (у), то ее распределение
(18)
является равномерным на интервале (0, 1).
Для некоторых законов распределения (экспоненциальный, Эрланга) имеются простые аналитические зависимости у = Ф (). Например, пусть требуется получить конкретное значение случайного числа Y с экспоненциальным законом распределения. Подставим в формулу (18) а и плотность распределения:
После интегрирования получается
Разрешая это уравнение относительно уk,, имеем
Учитывая, что если случайная величина подчинена равномерному закону распределения в интервале (0, 1), то случайная величина также имеет равномерный закон распределения в интервале (0, 1), последнее соотношение можно заменить следующим:
(19)
Процедура определения конкретного значения случайного числа с заданным законом распределения называется случайным испытанием или бросанием жребия.
Моделирование случайных процессов сводится на практике к определению последовательностей случайных величин. Исходными данными являются функции распределения, определенные в требуемые моменты времени, и последова