Математическое моделирование
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
рмальному и другим законам. Для некоторых сочетаний законов распределений потоков заявок и обслуживании получены аналитические зависимости характеристик от параметров системы.
Системы с произвольным распределением длительности обслуживания. Представим, что моделью ВС является одноканальная СМО с неограниченной очередью. В эту систему поступает простейший поток заявок с интенсивностью . Заявки обслуживаются в порядке поступления. Длительность обслуживания имеет произвольное распределение с математическим ожиданием и коэффициентом вариации . Такая система обозначается M/G/1. В этой системе в установившемся режиме среднее число заявок в очереди
(26)
среднее число заявок в системе
(27)
Последние два выражения называются формулами Поллачека-Хинчина. Средние времена пребывания заявок в очереди и в системе определяются по формулам Литтла.
Для системы M/G/1 могут быть аналитически определены дисперсии выходных характеристик. Подобные формулы известны также для случая многомерного простейшего потока заявок.
Системы с отказами. Предположим, что на ВС, представленную как m-канальная СМО, поступает простейший поток заявок с интенсивностью К. Поток обслуживания имеет произвольный закон распределения с интенсивностью р. Это система M/G/m. При этом очередная заявка, поступившая в систему, когда все каналы заняты, покидает ее без обслуживания. Это означает, что очереди в системе отсутствуют. Характеристиками такой системы могут служить пропускная способность, вероятность обслуживания и среднее число занятых каналов. Данная система соответствует модели размножения и гибели. На основании формул (13) и (14) (лекция 9) можно вывести вероятность того, что в СМО находится т заявок, т. е. все каналы заняты:
(28)
Вероятность того, что очередная заявка будет обслужена,
(29)
Пропускная способность системы определяется как среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
(30)
а среднее число занятых каналов определяется по формуле
(31)
Системы с приоритетными дисциплинами диспетчеризации.
В теории вычислительных систем детально изложены и исследованы аналитические зависимости характеристик от параметров ВС, представленных моделями СМО с ординарными и неординарными, одномерными и многомерными потоками заявок, обслуживаемых одноканальными и многоканальными приборами с произвольными законами распределения длительности обслуживания и различными дисциплинами диспетчеризации, включая системы с относительным, абсолютным, смешанным и динамическим приоритетами.
Например, допустим, что в СМО поступает М типов простейших потоков с интенсивностями и длительности обслуживания заявок каждого потока имеют математические ожидания и дисперсии . В системе используется смешанная дисциплина диспетчеризации с тремя классами: 1) заявкам типов 1,..., M1 присвоены абсолютные приоритеты по отношению к заявкам второго и третьего классов; 2) заявкам типов M1+1,..., M1+M2 - относительные приоритеты по отношению к заявкам третьего класса; 3) заявки типов M1+M2+1,..., M обслуживаются в порядке поступления. Среднее время ожидания заявок различных типов определяется из выражения:
(22)
где
Из формулы (22) могут быть получены как частные случаи
характеристики систем с абсолютными (, относительными (М1 = M3 = 0) и смешанными приоритетами с двумя классами заявок: с абсолютными и относительными приоритетами (М3 = 0), с абсолютными приоритетами и без приоритетов (М2 = 0), с относительными приоритетами и без приоритетов (M1 = 0).
3. Методы приближённой оценки характеристик вычислительных систем
Оценка при большой нагрузке. Аналитические зависимости, позволяющие определить параметры распределений выходных характеристик, имеются только для ограниченного круга систем. У более широкого круга систем могут быть вычислены средние значения в стационарном установившемся режиме. Однако остается ряд систем и режимов, для которых отсутствуют точные формулы даже по определению средних значений. К таким системам относятся, в первую очередь, системы с произвольными распределениями периодов поступления и длительностей обслуживания заявок. Это системы G/G/1 и G/G/m. При отсутствии точных зависимостей приходится довольствоваться приближенными оценками.
Одним из методов приближений является оценка характеристик при близких к единице значениях коэффициента загрузки, как наиболее важных с практических позиций. В частности, для системы G/G/1 время ожидания заявки в очереди распределено по экспоненциальному закону и среднее время ожидания можно определить по следующей формуле:
(33)
где - дисперсия периодов поступления и длительностей обслуживания заявок соответственно.
Используя зависимость (10) и формулы Литтла, можно вычислить средние значения других характеристик.
Определение границ. При значениях 0 ? < 1 для оценки характеристик используется несколько различных подходов определения верхней и нижней границ, в пределах которых находится истинное значение той или иной характеристики. Например, для системы G/G/1 приводятся следующие формулы расчета границ среднего времени ожидания заявки в очереди:
(24)
где v, - коэффициен