Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
отличного от постоянного, то не может быть тождественно равна нулю и, следовательно, в разложении функции по степеням будут отличные от нуля члены.
Таким образом, мы можем написать
где (так как разложение по степеням и начинается с членов не ниже второй степени и ). Число характеризует красность общей точки кривых
Теорема 2. Особая точка , для которой , может иметь следующий качественный характер:
а) характер седла ( при нечетном и );
б) характер узла ( при нечетном и ); причем при узел устойчивый, а при неустойчивый.
в) особая точка с одним узловым сектором и двумя седловыми ( при четном и любом знаке ). При узловой сектор устойчивый, при неустойчивый. Кроме того, если , то траектории узлового сектора стремятся к (при в зависимости от знака ) слева от оси (рис. 4.3 (а)), а если , то справа оси (рис. 4.3 (б)).
В случае, когда рассматриваемая система не имеет канонического вида, направления, в которых траектории стремятся к началу координат, могут быть отличны от направления осей. .Теперь рассмотрим случай, когда .
В этом случае оба характеристических корня особой точки равны нулю.
Систему (4.6) можем привести к виду:
где аналитические функции, разложения которых по степеням начинаются с членов не менее чем второго порядка.
Рассмотрим следующие функции:
)функцию , являющуюся решением уравнения
)функцию , определяемую формулой
эта функция тождественно не равна нулю (в силу предположения об отсутствии общих множителей, отличных от постоянных у правых частей рассматриваемой системы), поэтому в разложении по степеням будут отличные от нуля члены, и мы можем написать
3)функцию
Функция , в отличие от , может тождественно обращаться в нуль.
Рассмотрим сначала случай, когда , так что при некотором Числа и коэффициенты характеризуют качественную структуру особой точки.
Теорема 3. Пусть четное,
Тогда: 1) в случае, если , особая точка имеет качественный характер седло-узла;
) в случае, когда , существует одна полутраектория, стремящаяся к при , и одна полутраектория, стремящаяся к при , все остальные траектории и при возрастании, и при убывании выходят из окрестности (т.е. окрестность особой точки состоит из двух седловых секторов). Такая особая точка называется вырожденным седло-узлом.
Теорема 4. Пусть нечетное число и и пусть
Тогда: 1) если то особая точка имеет качественный характер седла (рис. 4.6);
) если , то особая точка имеет:
а) характер фокуса или центра при , о также при
б) характер узла, если четное и при этом или ;
в) одну замкнутую узловую область, две сопровождающие ее узловые области и одну седловую область (рис 4.7), если нечетное число и при этом и
Рисунки 4.4 - 4.7 выполнены при условии ; в случае на рисунках 4.6 и 4.7 расположение траекторий получается симметричным относительно оси . Все стремящиеся к особой точке с определенным направлением траектории стремятся к ней, касаясь оси . Однако если особая точка является фокусом или центром, то нет траекторий, стремящихся к особой точке, а все траектории в достаточно малой окрестности являются спиралями или замкнутыми траекториями.
4.4ОБЫКНОВЕННЫЕ ТОЧКИ
Определение 5. Любая точка фазовой плоскости, которая не является особой точкой системы , называется обыкновенной точкой этой системы.
Таким образом, если - обыкновенная точка, то , и в силу непрерывности функции X существует некоторая окрестность точки , содержащая только обыкновенные точки. Это означает, что локальный фазовый портрет в обыкновенной точке не содержит особых точек. Существует важный результат относительно качественной эквивалентности таких локальных фазовых портретов-теорема о выпрямлении векторного поля или теорема о трубке траекторий .
На рис. 4.8- 4.11 показаны локальные фазовые портреты в типичных обыкновенных точках . Для каждой из рассмотренных точек выделена некоторая специальная окрестность, называемая трубкой траекторий. Траектории системы входят в окрестность на одном ее конце и выходят на другом; ни одна траектория не может покинуть эту окрестность через ее боковые стороны. Для каждого из фазовых портретов, изображенных на рисунках, можно найти такие новые координаты на плоскости,
Типичной трубкой траекторий. В полярных координатах это
При замене переменных и гарантирует существование системы
она имеет вид координат, в которой локальный фаз
. вый портрет в точке принимает вид, изображенный на рис. 4.8.
Например, на рис. 4.9 надо перейти к полярным координатам r, q. На плоскости( r, q), окружности (r = const) превратятся в прямые, параллельные оси q, а радиальные прямые (q = const) станут прямыми, параллельными оси r. Таким образом, трубка траекторий на рис. 4.9 примет в полярных координатах такой вид, как на рис. 4.8.
На рис. 4.10 траектории в окрестности точки лежат на гиперболах . Если мы введем переменные , то трубка траекторий будет ограничена координатными линиями ,
и на плоскости локальный фазовый портрет снова имеет такой вид, как на рис. 4.8.
Теорема о трубке траекторий или о выпрямлении векторного поля. В достаточно малой окрестности обыкновенной точки системы х = Х(х) существует дифференцируемая взаимно однозначная замена переменных у = у(х), переводящая исходную систему в систему .
Теорема о трубке траекторий гарантирует существование новых коор