Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
выживанию вида , а в случае (c) исход конкуренции зависит от начальных условий, так как ненулевая особая точка для обоих видов является неустойчивым седлом, через которое проходит сеператриса, отделяющая области выживания каждого из видов.
3.Рассмотрим уравнение типа хищник - жертва с логистической поправкой
для .
При данная система примет вид:
У этой системы две неподвижные точки - .
Особая точка является седлом с собственными значениями матрицы коэффициентов линеаризованной системы: .
Собственный вектор для
Переведем точку в начало координат заменой:
Получим систему:
Решив характеристическое уравнение укороченной системы
мы видим, что собственные значения комплексные с нулевой вещественной частью, следовательно, особая точка центр.
Следовательно, в точке сосуществование обоих популяций, остальные траектории движутся вокруг нее. Если рассматривать точку , соответствующую моменту, когда численность жертв минимальна, то можно увидеть, что по мере возрастания количества жертв, численность хищников потихоньку убывает, потому что им пока нечем питаться. Когда количество жертв доходит до определенного числа , которое необходимо для того чтобы рождаемость хищников превышала их смертность, популяция хищников начинает возрастать. Но в определенный момент, когда , хищников становится настолько много, что численность жертв начинает убывать, но хищникам пока пищи достаточно и их количество, все еще, растет. Через некоторое время число жертв уменьшится настолько, что хищникам будет нечем питаться, их численность начнет убывать и в конце концов мы придем в первоначальную точку , и все начнется заново.
Чем дальше мы берем точку от положения равновесия системы, тем больше времени требуется на прохождении цикла.
При система
имеет четыре неподвижные точки:
Особая точка , как и при является седлом с собственными значениями: .
Особая точка является неустойчивым узлом, так как собственные значения ее матрицы: вещественные положительные.
Особая точка является седлом, так как собственные значения ее матрицы: вещественные и разных знаков.
Линеаризация системы в особой точке :
имеет след , который при принимает отрицательные значения, определитель , который при отрицательный и, . Значит, исследуемая особая точка является устойчивым фокусом.
Траектории движутся против часовой стрелки к особой точке , которая является фокусом, аналогично тому как двигалась точка по окружности, в предыдущем случае, только здесь точка движется по спирали и в конечном итоге приходит в положение равновесия системы, то есть жертвы и хищники сосуществуют. Вымирание обоих видов или одного из видов невозможно, потому что особые точки и являются сёдлами, а точка , и все траектории от нее удаляются.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
.Баутин Н.Н. Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - Москва, Наука, 1990. - 486 с.
.Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - Москва, Высшая школа, 1967. - 564 с.
.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск, 2000. - 176 с.
.Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. - Москва, Мир, 1986. - 243 с.
.Гаузе Г.Ф. Борьба за существование. - Москва, 2002. - 160 с.