Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
авшейся точки сделаем замену
и приведем данную систему к укороченной:
характеристическое уравнение которой имеет корни . И, значит, точка тоже неустойчивый фокус.
В этом случае построим вектор скорости в точке :
.
И так как фокус неустойчивый, будет происходить вращение по спиралям от особой точки против хода часовой стрелки.
12)Начертим на фазовой плоскости траектории системы, записанной в полярных координатах, и исследуем, имеются ли предельные циклы.
Для этого нужно правую часть прировнять к нулю и найти корни.
получаем
Посмотрим, где функция возрастает, а где убывает.
Так как , возрастанию t соответствует движение по траекториям против часовой стрелки.
Получается, что к предельному циклу с радиусом траектории неограни-ченно приближаются с обеих сторон при , то есть он устойчивый.
А от предельного цикла с радиусом траектории неограниченно удаляются с обеих сторон при , то есть он неустойчивый.
13)Начертим на фазовой плоскости траектории системы:
и исследуем, имеются ли предельные циклы.
Сначала раскроем модули. Обозначим
Когда
Когда
И когда
.
Получается:
Существуют замкнутые траектории, заданные уравнениями
.
Кроме того,
Так как , возрастанию t соответствует движение по траекториям против часовой стрелки.
Мы видим, что траектории неограниченно приближаются при к предельному циклу с радиусом при и к предельному циклу с радиусом при , значит они устойчивые.
При не меняется, следовательно, в этом промежутке лежит множество замкнутых траекторий, которые не являются предельными циклами, и каждая из этих траекторий является устойчивой.
дифференциальный уравнение популяция фазовый
ГЛАВА 2
1.ПРИЛОЖЕНИЕ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К БИОЛОГИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ
1.1 ФАЗОВЫЕ ПОРТРЕТЫ И ДИНАМИКА
В различных приложениях дифференциальное уравнение
моделирует изменение какого-нибудь параметра х некоторой физической системы в зависимости от времени. Мы говорим, что состояние системы определяется значением величины х. Например, уравнение
(1.1)
моделирует рост популяции р некоторого изолированного вида. В рамках этой модели состояние вида в момент времени t задается количеством индивидуумов , существующих в момент t.
Фазовый портрет фиксирует только направление скорости фазовой точки и, следовательно, отражает лишь качественную картину динамики. Такая качественная информация может оказаться полезной при построении моделей. Например, рассмотрим (1.1) - модель роста изолированной популяции. Заметим, что для всех , и фазовый портрет на рис. 1.1 показывает, что популяция растет неограниченно. Это свойство выглядит неправдоподобно: та среда, в которой живет этот вид, имеет свои ограничения и не может обеспечить ресурсами неограниченно растущую популяцию.
Предположим, что окружающая среда может обеспечивать существование популяции . Очевидно, неограниченный рост р должен быть чем-то остановлен. Одна из возможностей - ввести устойчивую неподвижную точку , как показано на рис. 1.1(б). Это значит, что популяции, большие чем , уменьшаются, меньшие чем , растут, а равновесие достигается при . Чтобы могли существовать две неподвижные точки при и , функция в (1.1) должна быть нелинейной. Уравнение
хорошо тем, что при оно сводится к (1.1); в противном случае оно имеет неподвижную точку .
(a) (b)
Рис. 1.1. Фазовые портреты для уравнений (a) (b)
. В обоих случаях нас интересует только поведение неотрицательных популяций (). Уравнение (b) называется логистическим законом роста популяции.
Конечно, чаще в моделях биологических систем состояние системы определяется более чем одной переменной, и в дальнейшем мы будем рассматривать именно такие системы.
.2 КОНКУРИРУЮЩИЕ ВИДЫ
Два сходных вида животных конкурируют друг с другом на некоторой территории с ограниченными запасами пищи. Возможны различные исходы их конкурентной борьбы:
(a) вид 1 выживает, а вид 2 вымирает;
(b) вид 2 выживает, а вид 1 вымирает;
(c) оба вида сосуществуют;
(d) оба вида вымирают.
Каждый из этих исходов соответствует некоторому положению равновесия для популяций и двух рассматриваемых видов. Поэтому дифференциальные уравнения, моделирующие динамику популяций и , должны иметь четыре изолированные особые точки.
Рассмотрим следующие нелинейные динамические уравнения:
(1.2)
где Заметим, что прирост на особь состоит из трех слагаемых: скорости размножения изолированной популяции a; члена, соответствующего внутривидовой конкуренции члена, соответствующего межвидовой конкуренции . Аналогично интерпретируются члены в уравнении для . Необходимое условие для возможности выживания обоих видов состоит в том, что должна существовать неподвижная точка уравнений (1.2), обе координаты которой положительны. Такая неподвижная точка для уравнений (1.2) существует тогда и только тогда, когда линейные уравнения
(1.3)
имеют решение с положительными координатами. Мы будем предполагать, что система (1.3) имеет единственное решение в первом квадранте плоскости , . В этом случае неподвижная точка име