Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
ет координаты
причем либо
(1.4)
либо
(1.4)
Сейчас рассмотрим характер изменения величин , при условиях (1.4).
Начнем с того, что произведем линеаризацию системы во всех четырех неподвижных точках. Каждую из линеаризованных систем мы обозначим , где у - локальные координаты в окрестности соответствующей неподвижной точки. Ниже для каждой из неподвижных точек указана ее матрица :
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Все неподвижные точки простые, а их вид определяется собственными значениями соответствующих матриц . Для (1.5) это числа ,и по теореме о линеаризации начало координат - неустойчивый узел. Собственные значения из (1.6) тоже легко усматриваются, так как матрица треугольная, и оба значения отрицательны (по (1.4)). То же справедливо относительно из (1.7), и в каждом из этих случаев теорема о линеаризации позволяет сделать вывод, что эти точки - устойчивые или вырожденные узлы (заметим, что возможны равенства или ).
Наконец, неподвижная точка (1.8) является седлом, поскольку
(по условиям (1.4)), и собственные значения должны обладать противоположными знаками (как видно на рис. 3.7. первой главы).
Теперь видно, что сосуществование является чрезвычайно маловероятным, так как при в седло входят только две сепаратрисы. Неподвижные точки устойчивы и соответствуют вымиранию видов 1 и 2. Начало координат является неустойчивым узлом, так что возможность вымирания обоих видов исключена, поскольку все траектории удаляются от точки Предполагая, что все начальные положения в первом квадранте равновероятны, мы видим, что наиболее вероятным исходом является вымирание одного из видов. Полученный нами результат находится в соответствии с принципом конкурентного исключения, согласно которому в таких ситуациях конкурентной борьбы один из видов вымирает.
Дальнейшие подробности относительно эволюции этих двух видов можно получить, нарисовав фазовый портрет рассмотренной модели. Заметим, что прямые из уравнений (1.3) - это изоклины направлений соответственно. Направление векторного поля можно получить, исследуя знаки , как это показано на рис. 1.3. Этой информации вместе со сведениями о характере неподвижных точек достаточно для того, чтобы построить фазовый портрет, изображенный на рис. 1.4. Различные детали, например какой оси касаются траектории, выходящие из начала координат, зависят уже от величин собственных значений. Например, на рис. 1.4 предполагается, что и поэтому траектории на рисунке касаются оси .
.3 УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА - ЛОТКА
Самые общие колебания, которые могут возникнуть при рассмотрении автономных линейных уравнений на плоскости, имеют вид
(1.9)
им соответствуют замкнутые эллиптические траектории на фазовом портрете. Кривые, заданные уравнениями (1.9), сильно симметричны, и, хотя изменение параметров допускает изменение амплитуды и сдвиг начального положения точки, форма траекторий остается неизменной.
В динамике популяций существует много примеров, когда изменение численности популяций во времени носит колебательный характер. Однако эти колебания заметно отличаются от гармонических, и для того, чтобы их промоделировать, необходимы нелинейные уравнения. Одним из самых известных примеров уравнений описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра - Лотка.
Рассмотрим модель, содержащую два вида, один вид - хищники, а другой - их добыча. Пусть и - популяции жертв и хищников соответственно. Предположим, что между особями одного вида нет соперничества. Пусть прирост на особь для жертв составляет - скорость размножения жертв в отсутствие хищников, есть член, учитывающий потери от хищников. Популяция хищников уменьшалась бы в отсутствие их пищи (т. е. жертв), так что при . Однако наличие жертв в случае удачной охоты на них компенсирует это уменьшение, так что при имеем Таким образом, система имеет вид
где . Это и есть уравнения Вольтерра - Лотка. Система (1.10) имеет две неподвижные точки: . Первая из этих точек - седло, для которого оси являются сепаратрисами, причем ось устойчивая. Линеаризованная система в нетривиальной неподвижной точке имеет центр, и, следовательно, теорема о линеаризации не дает возможности определить характер этой точки для исходной системы.
Дифференциальное уравнение
является уравнением с разделяющимися переменными, и его решения удовлетворяют равенству
.
Следовательно система (4.9) имеет первый интеграл
Здесь функции одного и того же вида: обе они положительны на полуоси и имеют на ней один максимум.
Функции принимают максимальные значения при и соответственно, и, таким образом, функция принимает максимальное значение в точке Следовательно, линии уровня функции являются замкнутыми кривыми, окружающими точку . Траектории системы (1.10) совпадают с этими линиями уровня, и точка является центром.
Функции не симметричны относительно своих максимальных значений и, следовательно, замкнутые траектории не являются эллипсами. Обе функции имеют крутой подъем и относительно пологий спуск (см. рис. 1.5); это значит, что траектории имеют форму, указанную на рис. 1.6. Неэллиптическая форма траекторий этого нелинейного центра отражает негармонический характер колебаний численности популяций (рис. 1.7).
.4 МОДЕЛЬ ХОЛЛИНГА - ТЭННЕРА