Приложения качественной теории дифференциальных уравнений к биологическим задачам
Дипломная работа - Математика и статистика
Другие дипломы по предмету Математика и статистика
але координат плоскости называется узлом. Если все траектории направлены к началу координат (от него), то узел называется устойчивым (неустойчивым). Форма траекторий определяется отношением . Из (3.8), (3.9) следует уравнение
где . Следовательно, при
Если имеют противоположные знаки, то возникает фазовый портрет. В этом случае особая точка называется седлом. На осях координат (исключая начало) лежат особые траектории, которые называются сепаратрисами седла. Это единственные траектории, имеющие вид радиальных лучей. На одной координатной оси лежат две сепаратрисы (начало координат также является отдельной траекторией). Эти сепаратрисы направлены к началу координат (от него), если соответствующее собственное значение отрицательно (положительно). Остальные траектории имеют сепаратрисы в качестве асимптот; сначала они подходят к некоторой точке при возрастании t от , лежащей ближе всего к началу координат, а затем снова удаляются.
(b) Равные собственные значения
Если матрица J диагональная, то каноническая система задается формулой (3.8) с . Таким образом, случай (3.3(b)) соответствует узлу специального вида, который называется дикритическим узлом. Этот узел устойчив при , неустойчив при ; все его траектории являются радиальными лучами.
Если матрица J недиагональная, т. е. имеет вид (3.3(c)), то система
имеет решения
В этом случае начало координат называется вырожденным узлом; он устойчив при и неустойчив при . Кривая, на которой траектории меняют свое направление, - геометрическое место точек экстремума для . Оно задается уравнением , т. е.
(с) Комплексные собственные значения
Жорданова матрица задается в этом случае формулой (3.3(d)), так что каноническая система имеет вид
Систему такого вида можно проинтегрировать, перейдя к полярным координатам на плоскости . Если продифференцировать эти выражения по t и подставить , то получится
и решение будет иметь вид:
.
Если , то начало координат называется фокусом (устойчивым при , неустойчивым при ). Параметр > 0 определяет угловую скорость точки на спирали.
Если , то начало координат называется центром и фазовый портрет состоит из континуума концентрических кругов. Это единственный случай, когда в линейных системах возникает повторяющееся, или периодическое, движение. Каждая точка (за исключением начала координат) снова проходится через время . Решения системы периодичны по t с периодом T и определяются формулами:
.
В случае, когда система является вырожденной ( вырожденная матрица, т. е. ), хотя бы одно из собственных значений А равно нулю. Тогда существуют нетривиальные решения уравнения кроме , и система имеет другие особые точки. Для линейных систем на плоскости существуют только две возможности: или ранг А равен единице, или А - нулевая матрица. В первом случае имеется прямая, состоящая из особых точек, проходящая через начало координат; во втором случае все точки плоскости являются особыми точками. Ранг А равен рангу J, так что то же самое справедливо для канонической системы.
(а)
т.е. .
все точки оси являются неподвижными точками; это предельный случай
(а) при
(b)
т.е. .
все точки оси являются неподвижными точками; это предельный случай
(а) при
Рассмотрим сначала случай вещественных различных .
В этом случае , то есть .
Если , то собственные числа разных знаков и особая точка является седлом.
Если , то собственные числа одного знака. При этом если , то отрицательные, и особая точка является устойчивым узлом, а если , то положительные, и особая точка - неустойчивый узел.
Когда совпадают, .
В этом случае , где собственное значение матрицы . Если , то отрицательное, и особая точка является устойчивым дикритическим или вырожденным узлом, а если , то положительное и особая точка является неустойчивым дикритическим или вырожденным узлом.
Теперь рассмотрим случай комплексных собственных значений
В этом случае то есть .
Если обозначить , то Если то отрицательное, и особая точка является устойчивым фокусом. Если то положительное, и особая точка - неустойчивый фокус. А если , и особая точка является центром.
Определение 4. Две системы дифференциальных уравнений называются качественно эквивалентными, если существует непрерывное взаимно однозначное преобразование, которое переводит фазовый портрет одной системы в фазовый портрет другой, так что сохраняется ориентация траектории. Так же эта эквивалентность называется топологической эквивалентностью.
Выше мы показали, что любая простая линейная система на плоскости качественно эквивалентна одной из систем. Десять изображенных там фазовых портретов представляют алгебраические типы линейных систем.
Качественная эквивалентность дает менее подробную классификацию. Можно показать, что все устойчивые (неустойчивые) узлы, вырожденные узлы, фокусы эквивалентны друг другу в смысле определения 4. Это означает, что классы алгебраически эквивалентных систем можно далее группировать в классы качественно (или топологически) эквивалентных. В таком смысле существует только четыре типа качественного поведения: устойчивость, центр, седло и неустойчивость.
Фазовый портрет в окрестности произвольной особой точки принадлежит одному и только одному из указ?/p>